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बीजगणितीय सर्वसमिकाएं (Algebraic Identities) के प्रश्न हल सहित

कुछ निश्चित सर्वसमिकाएं आपको a और b को अलग-अलग हल किए बिना a²+b² या ab खोजने देती हैं — और वही सर्वसमिकाएं 97×103 जैसे एक अटपटे गुणन को घटाव में बदल देती हैं। यहां अवधारणा, चार पूरी तरह हल किए गए उदाहरण, और खुद हल करने के लिए कुछ प्रश्न दिए गए हैं।

अवधारणा, संक्षेप में

दो मूल सर्वसमिकाएं: (a+b)² = a² + 2ab + b², और (a−b)² = a² − 2ab + b²। पुनर्व्यवस्थित करने पर, हर एक a²+b² को (a+b)² या (a−b)² और ab से जोड़ती है — तीनों में से कोई भी दो दिए जाने पर, तीसरा ज्ञात करें।
वर्गों का अंतर: a² − b² = (a+b)(a−b) — यह दो संख्याओं को गुणा करने की तरकीब है जो एक गोल संख्या से बराबर दूरी पर हैं, जैसे 97×103 = (100−3)(100+3)।
जब कोई प्रश्न a+b (या a−b) और ab देता है, तो यह परखता है कि क्या आप जानते हैं a²+b² = (a+b)² − 2ab (या (a−b)² + 2ab) — पहले a और b को अलग-अलग खोजने की कोशिश न करें।
ये सर्वसमिकाएं दोनों दिशाओं में काम करती हैं: किसी अभिव्यक्ति को विस्तारित करने के लिए, या a²+b² और a+b (या a−b) से वापस ab खोजने के लिए इनका उपयोग करें।

हल किए गए उदाहरण

1. यदि a+b = 10 और ab = 21, तो a² + b² ज्ञात करें।

हल

a² + b² = (a+b)² − 2ab।
= 10² − 2(21) = 100 − 42 = 58।

उत्तर: 58

2. यदि a−b = 4 और ab = 12, तो a² + b² ज्ञात करें।

हल

a² + b² = (a−b)² + 2ab।
= 4² + 2(12) = 16 + 24 = 40।

उत्तर: 40

3. सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल करें: 97 × 103

हल

97 × 103 = (100−3)(100+3) = 100² − 3²।
= 10,000 − 9 = 9,991।

उत्तर: 9,991

4. यदि a+b = 7 और a² + b² = 25, तो ab ज्ञात करें।

हल

(a+b)² = a² + 2ab + b², तो 49 = 25 + 2ab।
2ab = 24, तो ab = 12।

उत्तर: 12

खुद हल करके देखें

पहचानें कि कौन सी सर्वसमिका दिए गए मानों को जोड़ती है, फिर उत्तर से मिलान करें।

1. यदि a+b = 12 और ab = 27, तो a² + b² ज्ञात करें।

उत्तर: 90

2. सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल करें: 95 × 105

उत्तर: 9,975

3. यदि a−b = 6 और a² + b² = 58, तो ab ज्ञात करें।

उत्तर: 11

यह कहां काम आता है

Pariksha Saathi द्वारा कवर की जाने वाली हर परीक्षा — SSC CGL, SSC MTS, SSC CHSL, IBPS PO, IBPS क्लर्क, SBI PO और SBI क्लर्क — के मात्रात्मक/संख्यात्मक अभियोग्यता खंड में बीजगणितीय सर्वसमिकाएं सीधे परखी जाती हैं, और वर्गों के अंतर वाली तरकीब Simplification और Approximation के प्रश्नों को भी तेज़ करती है।

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इस पेज में अवधारणा और कुछ हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। Pariksha Saathi पर बीजगणितीय सर्वसमिकाएं (और हर दूसरे मात्रात्मक/तर्कशक्ति/अंग्रेज़ी विषय) के लिए पूरे विषयवार अभ्यास सेट हैं, तुरंत स्कोरिंग और स्पष्टीकरण के साथ — मुफ्त, बिना किसी खाते की आवश्यकता के।

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