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वृत्तीय क्रमचय (Circular Permutations) के प्रश्न हल सहित

लोगों को एक वृत्त में व्यवस्थित करना उन्हें एक पंक्ति में व्यवस्थित करने से अलग है — सभी को एक सीट घुमाने पर "वही" व्यवस्था मिलती है, तो गिनती से एक निश्चित संदर्भ बिंदु हटा दिया जाता है। यहां अवधारणा, चार पूरी तरह हल किए गए उदाहरण, और खुद हल करने के लिए कुछ प्रश्न दिए गए हैं।

अवधारणा, संक्षेप में

एक वृत्ताकार मेज़ के चारों ओर n अलग-अलग लोग: (n−1)! व्यवस्थाएं, n! नहीं — एक व्यक्ति की सीट तय करने से घूर्णी दोहराव हट जाते हैं (सभी को एक सीट घुमाना अभी भी वही व्यवस्था गिना जाता है)।
एक हार या कंगन के लिए (जहां इसे पलटने पर भी वही व्यवस्था मिलती है, न कि केवल घुमाने पर), 2 से भी भाग दें: (n−1)!/2।
जब दो विशिष्ट लोगों को साथ बैठना हो, तो पहले उन्हें एक इकाई में जोड़ें। परिणामी (घटी हुई गिनती) इकाइयों को (गिनती−1)! का उपयोग करके एक वृत्त में व्यवस्थित करें, फिर जुड़ी जोड़ी एक-दूसरे का सामना करने के दो तरीकों के लिए 2 से गुणा करें।
"साथ नहीं बैठना चाहिए" के लिए, कुल वृत्तीय व्यवस्थाएं ज्ञात करें, "साथ बैठने" की गिनती घटाएं — यह "साथ नहीं" वाले मामलों को सीधे गिनने की कोशिश करने से तेज़ और कम त्रुटि-प्रवण है।

हल किए गए उदाहरण

1. 5 लोगों को एक वृत्ताकार मेज़ के चारों ओर कितने तरीकों से बिठाया जा सकता है?

हल

n लोगों की वृत्तीय व्यवस्थाएं = (n−1)!।
= (5−1)! = 4! = 24।

उत्तर: 24

2. 6 अलग-अलग मोतियों को एक हार बनाने के लिए कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

हल

एक हार को पलटा जा सकता है, तो वृत्तीय गिनती को 2 से भाग दें: (n−1)!/2।
= (6−1)!/2 = 120/2 = 60।

उत्तर: 60

3. 4 लोगों को एक वृत्ताकार मेज़ के चारों ओर कितने तरीकों से बिठाया जा सकता है यदि दो विशिष्ट लोगों को हमेशा साथ बैठना हो?

हल

दो लोगों को एक इकाई में जोड़ें: इससे वृत्तीय रूप से व्यवस्थित करने के लिए 3 इकाइयां (इकाई + 2 अन्य लोग) बचती हैं।
3 इकाइयों की वृत्तीय व्यवस्थाएं = (3−1)! = 2।
जुड़ी जोड़ी 2 आंतरिक क्रमों में बैठ सकती है (कोई भी व्यक्ति बाईं ओर), तो कुल = 2 × 2 = 4।

उत्तर: 4

4. 7 लोगों को एक वृत्ताकार मेज़ के चारों ओर कितने तरीकों से बिठाया जा सकता है यदि दो विशिष्ट लोगों को कभी साथ नहीं बैठना हो?

हल

7 लोगों की कुल वृत्तीय व्यवस्थाएं = (7−1)! = 720।
दोनों साथ वाली व्यवस्थाएं: उन्हें एक इकाई में जोड़ें (6 इकाइयां), वृत्तीय व्यवस्थाएं = (6−1)! = 120, × 2 आंतरिक क्रम = 240।
कभी साथ नहीं = कुल − साथ = 720 − 240 = 480।

उत्तर: 480

खुद हल करके देखें

(n−1)! को आधार के रूप में उपयोग करें, ज़रूरत के अनुसार हार या साथ/अलग-की-शर्त के लिए समायोजित करें, फिर उत्तर से मिलान करें।

1. 6 लोगों को एक वृत्ताकार मेज़ के चारों ओर कितने तरीकों से बिठाया जा सकता है?

उत्तर: 120

2. 5 अलग-अलग मोतियों को एक हार बनाने के लिए कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

उत्तर: 12

3. 5 लोगों को एक वृत्ताकार मेज़ के चारों ओर कितने तरीकों से बिठाया जा सकता है यदि दो विशिष्ट लोगों को हमेशा साथ बैठना हो?

उत्तर: 12

यह कहां काम आता है

Pariksha Saathi द्वारा कवर की जाने वाली हर परीक्षा — SSC CGL, SSC MTS, SSC CHSL, IBPS PO, IBPS क्लर्क, SBI PO और SBI क्लर्क — के मात्रात्मक/संख्यात्मक अभियोग्यता खंड में वृत्तीय क्रमचय एक नियमित उप-विषय है, जो Permutation and Combination पर सीधे बनता है।

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इस पेज में अवधारणा और कुछ हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। Pariksha Saathi पर वृत्तीय क्रमचय (और हर दूसरे मात्रात्मक/तर्कशक्ति/अंग्रेज़ी विषय) के लिए पूरे विषयवार अभ्यास सेट हैं, तुरंत स्कोरिंग और स्पष्टीकरण के साथ — मुफ्त, बिना किसी खाते की आवश्यकता के।

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