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ज्यामिति: रेखाएं, कोण और त्रिभुज के प्रश्न हल सहित

ज्यामिति का यह हिस्सा कुछ निश्चित तथ्यों पर चलता है — त्रिभुज के कोणों का योग, और एक बाह्य कोण उसके आर-पार वाले दो आंतरिक कोणों से कैसे संबंधित है। यहां अवधारणा, चार पूरी तरह हल किए गए उदाहरण, और खुद हल करने के लिए कुछ प्रश्न दिए गए हैं।

अवधारणा, संक्षेप में

किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180° होता है। कोई भी दो कोण दिए जाने पर, तीसरा कोण पाने के लिए उनके योग को 180° से घटाएं।
जब कोण एक अनुपात के रूप में दिए जाएं (जैसे 2:3:4), तो हर भाग को एक चर दें (2x, 3x, 4x), उनके योग को 180° के बराबर रखें, x के लिए हल करें, फिर हर वास्तविक कोण पाने के लिए वापस गुणा करें।
एक त्रिभुज का बाह्य कोण (एक भुजा को बढ़ाकर बनाया गया) उसके आसन्न न होने वाले दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है — यह पहले तीसरे आंतरिक कोण को निकालकर 180° से घटाने से तेज़ है।
एक बाह्य कोण और उसका आसन्न आंतरिक कोण हमेशा 180° जोड़ते हैं (वे एक सीधी रेखा बनाते हैं) — यह तब उपयोगी है जब कोई प्रश्न दोनों को मिलाता है।

हल किए गए उदाहरण

1. त्रिभुज ABC में, कोण A = 50° और कोण B = 70° है। कोण C ज्ञात करें।

हल

त्रिभुज के तीन कोणों का योग 180° होता है: कोण C = 180° − 50° − 70° = 60°।

उत्तर: 60°

2. एक त्रिभुज के दो कोण 2:3 के अनुपात में हैं, और तीसरा कोण 100° है। दोनों कोण ज्ञात करें।

हल

दोनों कोण 2x और 3x मानें: 2x + 3x + 100° = 180°, तो 5x = 80°, जिससे x = 16°।
दोनों कोण हैं 2(16°) = 32° और 3(16°) = 48°।

उत्तर: 32° और 48°

3. एक त्रिभुज का बाह्य कोण 110° है, और आंतरिक विपरीत कोणों में से एक 40° है। दूसरा आंतरिक विपरीत कोण ज्ञात करें।

हल

बाह्य कोण दो असंलग्न आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है: 110° = 40° + (दूसरा कोण), तो दूसरा कोण = 70°।

उत्तर: 70°

4. एक त्रिभुज में, तीनों कोण 1:2:3 के अनुपात में हैं। सबसे बड़ा कोण ज्ञात करें।

हल

कोण x, 2x और 3x मानें: x + 2x + 3x = 180°, तो 6x = 180°, जिससे x = 30°।
सबसे बड़ा कोण है 3(30°) = 90°।

उत्तर: 90°

खुद हल करके देखें

ज़रूरत के अनुसार कोण-योग या बाह्य-कोण नियम का उपयोग करें, फिर उत्तर से मिलान करें।

1. त्रिभुज PQR में, कोण P = 65° और कोण Q = 55° है। कोण R ज्ञात करें।

उत्तर: 60°

2. एक त्रिभुज के दो कोण 3:4 के अनुपात में हैं, और तीसरा कोण 40° है। दोनों कोण ज्ञात करें।

उत्तर: 60° और 80°

3. एक त्रिभुज का बाह्य कोण 125° है, और आंतरिक विपरीत कोणों में से एक 55° है। दूसरा आंतरिक विपरीत कोण ज्ञात करें।

उत्तर: 70°

यह कहां काम आता है

Pariksha Saathi द्वारा कवर की जाने वाली हर परीक्षा — SSC CGL, SSC MTS, SSC CHSL, IBPS PO, IBPS क्लर्क, SBI PO और SBI क्लर्क — के मात्रात्मक/संख्यात्मक अभियोग्यता खंड में ज्यामिति सीधे परखी जाती है, सबसे ज़्यादा SSC CGL में।

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