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ऊंचाई और दूरी (Height and Distance) के प्रश्न हल सहित

इस विषय में लगभग हर प्रश्न एक समकोण त्रिभुज और तीन मानक कोणों में से एक — 30°, 45°, या 60° — तक सिमट जाता है, तो असली कौशल सही त्रिभुज बनाना और सही त्रिकोणमितीय अनुपात चुनना है, कई सूत्र याद रखना नहीं। यहां अवधारणा, चार पूरी तरह हल किए गए उदाहरण, और खुद हल करने के लिए कुछ प्रश्न दिए गए हैं।

अवधारणा, संक्षेप में

  • तीन मानक कोण और उनके टैंजेंट मान (यहां सबसे ज़्यादा उपयोग होने वाला अनुपात): tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3।
  • उन्नयन कोण (angle of elevation) क्षैतिज रेखा से ऊपर की ओर मापा जाता है (किसी चीज़ को ऊपर देखते हुए); अवनमन कोण (angle of depression) क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर मापा जाता है (किसी चीज़ को नीचे देखते हुए) — दोनों क्षैतिज रेखा से मापे जाते हैं, ज़मीन या वस्तु से नहीं।
  • tan(कोण) = सम्मुख भुजा / आसन्न भुजा, जहां "सम्मुख" ऊंचाई (ऊर्ध्वाधर) है और "आसन्न" आधार से क्षैतिज दूरी है — पहले त्रिभुज बनाएं, ऊंचाई और दूरी को लेबल करें, फिर tan लागू करें।
  • एक तिरछी रेखा (जैसे सीढ़ी या तार, जो कर्ण होती है) के लिए, tan के बजाय sin या cos का उपयोग करें: जब कोण ज़मीन के साथ हो तो cos(कोण) = आसन्न/कर्ण, sin(कोण) = सम्मुख/कर्ण।

हल किए गए उदाहरण

1. एक खंभे की छाया की लंबाई 10√3 मीटर है जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° है। खंभे की ऊंचाई ज्ञात करें।

हल

  1. tan(30°) = ऊंचाई / छाया की लंबाई, तो ऊंचाई = छाया की लंबाई × tan(30°)।
  2. tan(30°) = 1/√3, तो ऊंचाई = 10√3 × (1/√3) = 10 मीटर।

उत्तर: 10 मीटर

2. एक मीनार के आधार से 50 मीटर दूर एक बिंदु से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊंचाई ज्ञात करें।

हल

  1. tan(45°) = ऊंचाई / दूरी, तो ऊंचाई = दूरी × tan(45°)।
  2. tan(45°) = 1, तो ऊंचाई = 50 × 1 = 50 मीटर।

उत्तर: 50 मीटर

3. एक सीढ़ी एक दीवार के सहारे टिकी है, जो ज़मीन के साथ 60° का कोण बनाती है। यदि सीढ़ी का पाया दीवार से 5 मीटर दूर है, तो सीढ़ी की लंबाई ज्ञात करें।

हल

  1. सीढ़ी कर्ण है, और 5 मीटर 60° कोण से सटी भुजा है: cos(60°) = आसन्न / कर्ण।
  2. cos(60°) = 1/2, तो कर्ण = 5 / (1/2) = 10 मीटर।

उत्तर: 10 मीटर

4. 100 मीटर ऊंची एक चट्टान के शीर्ष से, एक नाव का अवनमन कोण 30° है। चट्टान के आधार से नाव की दूरी ज्ञात करें।

हल

  1. शीर्ष से अवनमन कोण नाव से उन्नयन कोण के बराबर होता है (एकांतर कोण), तो tan(30°) = ऊंचाई / दूरी।
  2. tan(30°) = 1/√3, तो 1/√3 = 100 / दूरी, जिससे दूरी = 100√3 ≈ 173.2 मीटर।

उत्तर: 100√3 मीटर ≈ 173.2 मीटर

खुद हल करके देखें

त्रिभुज बनाएं, कोण और भुजाओं को पहचानें, फिर उत्तर से मिलान करें।

1. एक मीनार की छाया की लंबाई 20√3 मीटर है जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊंचाई ज्ञात करें।

उत्तर: 20 मीटर

2. एक इमारत के आधार से 40 मीटर दूर एक बिंदु से इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। इमारत की ऊंचाई ज्ञात करें।

उत्तर: 40 मीटर

3. एक सीढ़ी एक दीवार के सहारे टिकी है, जो ज़मीन के साथ 60° का कोण बनाती है। यदि सीढ़ी का पाया दीवार से 6 मीटर दूर है, तो सीढ़ी की लंबाई ज्ञात करें।

उत्तर: 12 मीटर

यह कहां काम आता है

Pariksha Saathi द्वारा कवर की जाने वाली हर परीक्षा — SSC CGL, SSC MTS, SSC CHSL, IBPS PO, IBPS क्लर्क, SBI PO और SBI क्लर्क — के मात्रात्मक/संख्यात्मक अभियोग्यता खंड में ऊंचाई और दूरी सीधे परखी जाती है, सबसे ज़्यादा SSC CGL में।

ऊंचाई और दूरी के और प्रश्नों का अभ्यास करें

इस पेज में अवधारणा और कुछ हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। Pariksha Saathi पर ऊंचाई और दूरी (और हर दूसरे मात्रात्मक/तर्कशक्ति/अंग्रेज़ी विषय) के लिए पूरे विषयवार अभ्यास सेट हैं, तुरंत स्कोरिंग और स्पष्टीकरण के साथ — मुफ्त, बिना किसी खाते की आवश्यकता के।

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