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ल.स. और म.स. (LCM और HCF) के प्रश्न हल सहित

LCM और HCF के प्रश्न अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) विधि को अच्छी तरह जानने और दोनों को जोड़ने वाले एक शॉर्टकट का इनाम देते हैं — एक बार यह आ जाए, तो इस विषय के ज़्यादातर प्रश्न नियमित हो जाते हैं। यहां अवधारणा, चार पूरी तरह हल किए गए उदाहरण, और खुद हल करने के लिए कुछ प्रश्न दिए गए हैं।

अवधारणा, संक्षेप में

HCF (महत्तम समापवर्तक) सबसे बड़ी संख्या है जो हर दी गई संख्या को पूरी तरह विभाजित करती है। LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) सबसे छोटी संख्या है जिसे हर दी गई संख्या पूरी तरह विभाजित करती है।
अभाज्य गुणनखंडन विधि: हर संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें। HCF = साझा अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, हर एक संख्याओं में उसकी सबसे कम घात पर। LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों (साझा और गैर-साझा दोनों) का गुणनफल, हर एक की सबसे ज़्यादा घात पर।
दो संख्याओं a और b के लिए उपयोगी शॉर्टकट: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b। यह आपको दोबारा गुणनखंडन किए बिना एक से दूसरा सीधे निकालने देता है।
"X, Y और Z को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या जो हर बार वही शेषफल R छोड़े" वाले प्रश्नों के लिए, सीधे X, Y, Z के बजाय (X − R), (Y − R) और (Z − R) का HCF ज्ञात करें।

हल किए गए उदाहरण

1. 12 और 18 का HCF और LCM ज्ञात करें।

हल

12 = 2² × 3। 18 = 2 × 3²।
HCF = साझा गुणनखंड उनकी सबसे कम घात पर = 2¹ × 3¹ = 6।
LCM = सभी गुणनखंड उनकी सबसे ज़्यादा घात पर = 2² × 3² = 4 × 9 = 36।
जांच: HCF × LCM = 6 × 36 = 216, और 12 × 18 = 216 — मेल खाता है।

उत्तर: HCF = 6, LCM = 36

2. 24, 36, और 60 का HCF और LCM ज्ञात करें।

हल

24 = 2³ × 3। 36 = 2² × 3²। 60 = 2² × 3 × 5।
HCF = साझा गुणनखंड (2 और 3 तीनों में हैं; 5 नहीं है) तीनों में उनकी सबसे कम घात पर: 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12।
LCM = सभी गुणनखंड उनकी सबसे ज़्यादा घात पर: 2³ × 3² × 5¹ = 8 × 9 × 5 = 360।

उत्तर: HCF = 12, LCM = 360

3. दो संख्याएं 3 : 4 के अनुपात में हैं और उनका LCM 48 है। HCF और दोनों संख्याएं ज्ञात करें।

हल

मान लें संख्याएं 3x और 4x हैं। चूंकि 3 और 4 का कोई साझा गुणनखंड नहीं है, x खुद HCF है, और LCM, 3 × 4 × x = 12x है।
12x = 48 → x = 4।
संख्याएं हैं 3 × 4 = 12 और 4 × 4 = 16। HCF = x = 4। जांच: HCF(12, 16) = 4 और LCM(12, 16) = 48 — मेल खाता है।

उत्तर: HCF = 4, संख्याएं 12 और 16 हैं

4. 70 और 125 को विभाजित करने वाली वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो क्रमशः 5 और 8 शेषफल छोड़े।

हल

आवश्यक संख्या (70 − 5) और (125 − 8) का HCF है, यानी HCF(65, 117)।
65 = 5 × 13। 117 = 3² × 13। HCF = 13।
जांच: 70 ÷ 13 = 5 शेषफल 5। 125 ÷ 13 = 9 शेषफल 8 — दोनों मेल खाते हैं।

उत्तर: 13

खुद हल करके देखें

इन्हें उसी तरीके से हल करें, फिर उत्तर से मिलान करें।

1. 15 और 20 का HCF और LCM ज्ञात करें।

उत्तर: HCF = 5, LCM = 60

2. 8, 12, और 20 का HCF और LCM ज्ञात करें।

उत्तर: HCF = 4, LCM = 120

3. दो संख्याओं का HCF 6 है और उनका LCM 90 है। यदि उनमें से एक संख्या 18 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।

उत्तर: 30

यह कहां काम आता है

Pariksha Saathi द्वारा कवर की जाने वाली हर परीक्षा — SSC CGL, SSC MTS, SSC CHSL, IBPS PO, IBPS क्लर्क, SBI PO और SBI क्लर्क — के मात्रात्मक/संख्यात्मक अभियोग्यता खंड में LCM और HCF सीधे परखा जाता है।

LCM और HCF के और प्रश्नों का अभ्यास करें

इस पेज में अवधारणा और कुछ हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। Pariksha Saathi पर LCM और HCF (और हर दूसरे मात्रात्मक/तर्कशक्ति/अंग्रेजी विषय) के लिए पूरे विषयवार अभ्यास सेट हैं, तुरंत स्कोरिंग और स्पष्टीकरण के साथ — मुफ्त, बिना किसी खाते की आवश्यकता के।

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