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नंबर सिस्टम के प्रश्न हल सहित

नंबर सिस्टम के प्रश्न कुछ विभाज्यता शॉर्टकट और शेषफलों के बारे में एक विचार जानने का इनाम देते हैं — कि वे जोड़ और गुणा के तहत पूर्वानुमानित व्यवहार करते हैं, तो आपको कभी किसी विशाल संख्या को पूरी तरह निकालने की ज़रूरत नहीं पड़ती। यहां अवधारणा, चार पूरी तरह हल किए गए उदाहरण, और खुद हल करने के लिए कुछ प्रश्न दिए गए हैं।

अवधारणा, संक्षेप में

विभाज्यता नियम आपको बिना भाग किए यह जांचने देते हैं कि कोई संख्या किसी छोटी संख्या से विभाज्य है या नहीं: 2 से यदि अंतिम अंक सम हो; 3 से यदि अंकों का योग 3 से विभाज्य हो; 4 से यदि अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य संख्या बनाएं; 5 से यदि अंतिम अंक 0 या 5 हो; 9 से यदि अंकों का योग 9 से विभाज्य हो; 11 से यदि विषम और सम स्थितियों (दाईं ओर से गिनते हुए) के अंकों के योग का अंतर 11 से विभाज्य हो।
जब किसी संख्या N को भाजक D से भाग दिया जाता है, तो N = D × Q + R, जहां Q भागफल है और R शेषफल है, 0 ≤ R < D के साथ। यह संबंध हर शेषफल वाले प्रश्न की नींव है।
शेषफल जोड़ और गुणा के तहत पूर्वानुमानित व्यवहार करते हैं: आप पूरे व्यंजक को निकालने के बजाय पहले हर हिस्से का शेषफल ले सकते हैं — यह "किसी बड़ी घात का शेषफल ज्ञात करें" वाले प्रश्नों के लिए उपयोगी है, जहां क्रमिक घातों के शेषफल आमतौर पर एक छोटे चक्र में दोहराते हैं।
कोई संख्या पूर्ण वर्ग है यदि उसके अभाज्य गुणनखंडन में हर घात सम हो; यह पूर्ण घन है यदि हर घात 3 का गुणज हो।

हल किए गए उदाहरण

1. जांचें कि 4,572, 9 से विभाज्य है या नहीं।

हल

अंकों का योग = 4 + 5 + 7 + 2 = 18।
18, 9 से विभाज्य है, तो 4,572, 9 से विभाज्य है।

उत्तर: हां, 9 से विभाज्य है

2. जांचें कि 9,251, 11 से विभाज्य है या नहीं।

हल

दाईं ओर से: स्थिति 1 = 1, स्थिति 2 = 5, स्थिति 3 = 2, स्थिति 4 = 9।
विषम स्थितियों (1ली, 3री) का योग = 1 + 2 = 3। सम स्थितियों (2री, 4थी) का योग = 5 + 9 = 14।
अंतर = |3 − 14| = 11, जो 11 से विभाज्य है — तो 9,251, 11 से विभाज्य है।

उत्तर: हां, 11 से विभाज्य है

3. 7¹⁰⁰ को 5 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करें।

हल

7ⁿ mod 5 का पैटर्न ढूंढें: 7¹ mod 5 = 2, 7² mod 5 = 4, 7³ mod 5 = 3, 7⁴ mod 5 = 1, और फिर यह दोहराता है — 4 की लंबाई का एक चक्र।
100 ÷ 4 का कोई शेषफल नहीं बचता, तो 7¹⁰⁰ चक्र की चौथी स्थिति पर आता है: शेषफल 1।

उत्तर: 1

4. एक संख्या को 15 से भाग देने पर शेषफल 7 बचता है। उसी संख्या को 5 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करें।

हल

संख्या N = 15Q + 7 है, किसी भागफल Q के लिए। चूंकि 15, 5 का गुणज है, पद 15Q, 5 से पूरी तरह विभाज्य है।
तो N को 5 से भाग देने पर शेषफल बस 7 mod 5 = 2 है। (Q = 1 से जांचें: N = 22, और 22 ÷ 5 पर शेषफल 2 बचता है।)

उत्तर: 2

खुद हल करके देखें

इन्हें उसी तरीके से हल करें, फिर उत्तर से मिलान करें।

1. जांचें कि 3,684, 4 से विभाज्य है या नहीं।

उत्तर: हां (अंतिम दो अंक, 84, 4 से विभाज्य हैं)

2. जांचें कि 61,809, 11 से विभाज्य है या नहीं।

उत्तर: हां (विषम-स्थिति योग 23 में से सम-स्थिति योग 1 घटाने पर 22 मिलता है, जो 11 से विभाज्य है)

3. एक संख्या को 24 से भाग देने पर शेषफल 11 बचता है। उसी संख्या को 8 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करें।

उत्तर: 3

यह कहां काम आता है

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