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समुच्चय सिद्धांत (Set Theory) के प्रश्न हल सहित

यहां ज़्यादातर Set Theory के प्रश्न एक सूत्र तक सिमट जाते हैं — दो समूहों का संघ उनके आकारों को जोड़ने के बराबर है, जो भी वे साझा करते हैं उसे घटाकर — क्योंकि ओवरलैप को दो बार जोड़ना वह गलती है जिसे ठीक करने के लिए यह सूत्र बना है। यहां अवधारणा, चार पूरी तरह हल किए गए उदाहरण, और खुद हल करने के लिए कुछ प्रश्न दिए गए हैं।

अवधारणा, संक्षेप में

दो समुच्चयों के लिए: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| — दोनों समूह आकारों को सीधे जोड़ने से जो दोनों में है वह दो बार गिना जाता है, तो ओवरलैप को एक बार वापस घटाया जाता है।
"कम से कम एक" का मतलब है संघ, |A ∪ B|। "कोई नहीं" का मतलब है संघ के बाहर सभी: कुल − |A ∪ B|।
"केवल A" (A में पर B में नहीं) = |A| − |A ∩ B|। "A या B में से ठीक एक" = |A ∪ B| − |A ∩ B| (संघ, में से जो भी दोनों में है उसे घटाकर)।
दो अतिव्यापी वृत्त बनाएं और पहले ओवरलैप संख्या भरें — "केवल A" और "केवल B" वाले हिस्से फिर वह होते हैं जो ओवरलैप हटाने के बाद हर वृत्त में बचता है।

हल किए गए उदाहरण

1. 60 विद्यार्थियों की एक कक्षा में, 35 क्रिकेट खेलते हैं और 25 फुटबॉल खेलते हैं। यदि 10 दोनों खेलते हैं, तो कम से कम एक खेल कितने खेलते हैं?

हल

|क्रिकेट ∪ फुटबॉल| = 35 + 25 − 10 = 50।

उत्तर: 50

2. 100 लोगों के एक सर्वेक्षण में, 60 को चाय पसंद है और 50 को कॉफी पसंद है। यदि 20 को दोनों पसंद हैं, तो कितनों को कोई भी पसंद नहीं है?

हल

|चाय ∪ कॉफी| = 60 + 50 − 20 = 90।
कोई नहीं = कुल − संघ = 100 − 90 = 10।

उत्तर: 10

3. 50 विद्यार्थियों के एक समूह में, 30 गणित पढ़ते हैं, 25 भौतिकी पढ़ते हैं, और 15 दोनों पढ़ते हैं। कितने केवल गणित (भौतिकी नहीं) पढ़ते हैं?

हल

केवल गणित = |गणित| − |गणित ∩ भौतिकी| = 30 − 15 = 15।

उत्तर: 15

4. 80 विद्यार्थियों की एक कक्षा में, 50 क्रिकेट खेलते हैं, 40 फुटबॉल खेलते हैं, और 20 दोनों खेलते हैं। कितने दोनों खेलों में से ठीक एक खेलते हैं?

हल

|क्रिकेट ∪ फुटबॉल| = 50 + 40 − 20 = 70।
ठीक एक = संघ − दोनों = 70 − 20 = 50।

उत्तर: 50

खुद हल करके देखें

पहले संघ निकालें, फिर ज़रूरत के अनुसार "कोई नहीं," "केवल," या "ठीक एक" के लिए समायोजित करें, फिर उत्तर से मिलान करें।

1. 70 विद्यार्थियों की एक कक्षा में, 40 शतरंज खेलते हैं और 30 कैरम खेलते हैं। यदि 15 दोनों खेलते हैं, तो कम से कम एक खेल कितने खेलते हैं?

उत्तर: 55

2. 120 लोगों के एक सर्वेक्षण में, 70 को फ़िल्में पसंद हैं और 60 को संगीत पसंद है। यदि 25 को दोनों पसंद हैं, तो कितनों को कोई भी पसंद नहीं है?

उत्तर: 15

3. 90 विद्यार्थियों के एक समूह में, 55 अंग्रेज़ी पढ़ते हैं, 45 हिंदी पढ़ते हैं, और 20 दोनों पढ़ते हैं। कितने केवल अंग्रेज़ी पढ़ते हैं?

उत्तर: 35

यह कहां काम आता है

Pariksha Saathi द्वारा कवर की जाने वाली हर परीक्षा — SSC CGL, SSC MTS, SSC CHSL, IBPS PO, IBPS क्लर्क, SBI PO और SBI क्लर्क — के मात्रात्मक/संख्यात्मक अभियोग्यता खंड में समुच्चय सिद्धांत सीधे परखा जाता है, सबसे ज़्यादा SSC CGL में।

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