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त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएं के प्रश्न हल सहित

Height and Distance के विपरीत, जो त्रिकोणमिति को वास्तविक दुनिया के त्रिभुजों पर लागू करता है, यह विषय सीधे अनुपातों और सर्वसमिकाओं के साथ काम करता है — एक अनुपात दिए जाने पर, दूसरा ज्ञात करें, या एक निश्चित सर्वसमिका का उपयोग करके एक अभिव्यक्ति को सरल करें। यहां अवधारणा, चार पूरी तरह हल किए गए उदाहरण, और खुद हल करने के लिए कुछ प्रश्न दिए गए हैं।

अवधारणा, संक्षेप में

  • मूल सर्वसमिका: sin²θ + cos²θ = 1, किसी भी कोण θ के लिए। sin θ या cos θ में से एक दिए जाने पर, यह सीधे दूसरा देता है।
  • दो व्युत्पन्न सर्वसमिकाएं, दोनों मूल सर्वसमिका से बनी: 1 + tan²θ = sec²θ, और 1 + cot²θ = cosec²θ।
  • मानक कोण मान जो याद रखने लायक हैं: sin 30° = cos 60° = 1/2; sin 60° = cos 30° = √3/2; sin 45° = cos 45° = 1/√2; tan 45° = 1; tan 30° = 1/√3; tan 60° = √3।
  • एक न्यून कोण के लिए, सभी अनुपात धनात्मक होते हैं, तो एक सर्वसमिका में वर्गमूल लेने पर केवल कभी भी धनात्मक मूल की ज़रूरत होती है — यह व्यवहार में sin²θ + cos²θ = 1 के साथ काम करना सरल बनाता है।

हल किए गए उदाहरण

1. यदि sin θ = 3/5 और θ न्यून कोण है, तो cos θ ज्ञात करें।

हल

  1. sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करते हुए: cos²θ = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25।
  2. cos θ = √(16/25) = 4/5 (धनात्मक, क्योंकि θ न्यून कोण है)।

उत्तर: 4/5

2. मान ज्ञात करें: 2 sin²45° + 3 cos²45°

हल

  1. sin 45° = cos 45° = 1/√2, तो sin²45° = cos²45° = 1/2।
  2. 2(1/2) + 3(1/2) = 1 + 1.5 = 2.5।

उत्तर: 2.5

3. यदि tan θ = 3/4 और θ न्यून कोण है, तो sec θ ज्ञात करें।

हल

  1. 1 + tan²θ = sec²θ का उपयोग करते हुए: sec²θ = 1 + (3/4)² = 1 + 9/16 = 25/16।
  2. sec θ = √(25/16) = 5/4।

उत्तर: 5/4

4. मान ज्ञात करें: (sin 30° + cos 60°) / (1 + tan 45°)

हल

  1. sin 30° = 1/2 और cos 60° = 1/2, तो अंश = 1/2 + 1/2 = 1।
  2. tan 45° = 1, तो हर = 1 + 1 = 2।
  3. परिणाम = 1/2।

उत्तर: 1/2

खुद हल करके देखें

सर्वसमिका या मानक कोण मानों को लागू करें, फिर उत्तर से मिलान करें।

1. यदि sin θ = 5/13 और θ न्यून कोण है, तो cos θ ज्ञात करें।

उत्तर: 12/13

2. यदि tan θ = 5/12 और θ न्यून कोण है, तो sec θ ज्ञात करें।

उत्तर: 13/12

3. मान ज्ञात करें: 3 sin²60° + 2 cos²30°

उत्तर: 3.75

यह कहां काम आता है

Pariksha Saathi द्वारा कवर की जाने वाली हर परीक्षा — SSC CGL, SSC MTS, SSC CHSL, IBPS PO, IBPS क्लर्क, SBI PO और SBI क्लर्क — के मात्रात्मक/संख्यात्मक अभियोग्यता खंड में त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएं सीधे परखी जाती हैं, सबसे ज़्यादा SSC CGL में, और हर Height and Distance प्रश्न के आधार में यही होता है।

त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाओं के और प्रश्नों का अभ्यास करें

इस पेज में अवधारणा और कुछ हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। Pariksha Saathi पर त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएं (और हर दूसरे मात्रात्मक/तर्कशक्ति/अंग्रेज़ी विषय) के लिए पूरे विषयवार अभ्यास सेट हैं, तुरंत स्कोरिंग और स्पष्टीकरण के साथ — मुफ्त, बिना किसी खाते की आवश्यकता के।

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