Pariksha Saathiमात्रात्मक अभियोग्यता
नंबर सिस्टम: उत्तर सहित अभ्यास प्रश्न
नंबर सिस्टम पर उत्तर सहित 21 अभ्यास प्रश्न; ज़्यादातर के साथ व्याख्या या पूरा हल भी है। उत्तर खोलने से पहले हर प्रश्न खुद हल करें।
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Q.1
360 के गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 24
हल:
- 360 = 2³ × 3² × 5¹।
- गुणनखंडों की संख्या = (3+1) × (2+1) × (1+1) = 4 × 3 × 2
- = 24
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Q.2
जांचें कि 9,251, 11 से विभाज्य है या नहीं।
उत्तर देखें
उत्तर: हां, 11 से विभाज्य है
हल:
- दाईं ओर से: स्थिति 1 = 1, स्थिति 2 = 5, स्थिति 3 = 2, स्थिति 4 = 9।
- विषम स्थितियों (1ली, 3री) का योग = 1 + 2 = 3। सम स्थितियों (2री, 4थी) का योग = 5 + 9 = 14।
- अंतर = |3 − 14| = 11, जो 11 से विभाज्य है — तो 9,251, 11 से विभाज्य है।
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Q.3
पहली 20 प्राकृत संख्याओं का योग, उनके वर्गों का योग, और उनके घनों का योग ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: योग = 210, वर्गों का योग = 2,870, घनों का योग = 44,100
हल:
- पहली n संख्याओं का योग = n(n+1)/2 = 20 × 21 / 2 = 210।
- पहले n वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)/6 = (20 × 21 × 41) / 6 = 17,220 / 6 = 2,870।
- पहले n घनों का योग = [n(n+1)/2]² = 210² = 44,100।
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Q.4
एक संख्या को 15 से भाग देने पर शेषफल 7 बचता है। उसी संख्या को 5 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2
हल:
- संख्या N = 15Q + 7 है, किसी भागफल Q के लिए। चूंकि 15, 5 का गुणज है, पद 15Q, 5 से पूरी तरह विभाज्य है।
- तो N को 5 से भाग देने पर शेषफल बस 7 mod 5 = 2 है। (Q = 1 से जांचें: N = 22, और 22 ÷ 5 पर शेषफल 2 बचता है।)
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Q.5
7⁹⁵ का इकाई अंक ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 3
हल:
- 7 की घातों के इकाई अंक हर 4 चरणों में चक्र बनाते हैं: 7¹→7, 7²→9, 7³→3, 7⁴→1, फिर दोहराता है।
- 95 = 4 × 23 + 3, तो शेषफल 3 है — यह चक्र की तीसरी प्रविष्टि की ओर इशारा करता है।
- तीसरी प्रविष्टि 3 है।
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Q.6
7¹⁰⁰ को 5 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1
हल:
- 7ⁿ mod 5 का पैटर्न ढूंढें: 7¹ mod 5 = 2, 7² mod 5 = 4, 7³ mod 5 = 3, 7⁴ mod 5 = 1, और फिर यह दोहराता है — 4 की लंबाई का एक चक्र।
- 100 ÷ 4 का कोई शेषफल नहीं बचता, तो 7¹⁰⁰ चक्र की चौथी स्थिति पर आता है: शेषफल 1।
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Q.7
जांचें कि 4,572, 9 से विभाज्य है या नहीं।
उत्तर देखें
उत्तर: हां, 9 से विभाज्य है
हल:
- अंकों का योग = 4 + 5 + 7 + 2 = 18।
- 18, 9 से विभाज्य है, तो 4,572, 9 से विभाज्य है।
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Q.8
100! में अंतिम शून्यों की संख्या ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 24
हल:
- 100 तक 5 के गुणज गिनें: ⌊100/5⌋ = 20।
- 100 तक 25 के गुणज गिनें (हर एक से एक अतिरिक्त 5 मिलता है): ⌊100/25⌋ = 4।
- 100 तक 125 के गुणज: 0, क्योंकि 125 > 100।
- कुल अंतिम शून्य = 20 + 4 = 24।
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Q.9
50! में अंतिम शून्यों की संख्या ज्ञात करें।
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Q.10
एक संख्या को 24 से भाग देने पर शेषफल 11 बचता है। उसी संख्या को 8 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करें।
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Q.11
पहली 15 प्राकृत संख्याओं का योग और उनके वर्गों का योग ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: योग = 120, वर्गों का योग = 1,240। 15×16/2 = 120; (15×16×31)/6 = 7,440/6।
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Q.12
8⁵³ का इकाई अंक ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 8। 8 का चक्र 8,4,2,6 है (लंबाई 4); 53 = 4×13+1, तो पहली प्रविष्टि, जो 8 है।
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Q.13
180 के गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करें।
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Q.14
जांचें कि 61,809, 11 से विभाज्य है या नहीं।
उत्तर देखें
उत्तर: हां (विषम-स्थिति योग 23 में से सम-स्थिति योग 1 घटाने पर 22 मिलता है, जो 11 से विभाज्य है)
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Q.15
जांचें कि 3,684, 4 से विभाज्य है या नहीं।
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Q.16
36 से विभाज्य सबसे बड़ी चार अंकों की धनात्मक पूर्णांक संख्या क्या है?
- A 9972
- B 9936
- C 9996
- D 10008
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) 9972
सबसे बड़ी चार अंकों की पूर्णांक संख्या 9999 है। चूँकि 9999 = 36 × 277 + 27, 27 घटाने पर 9972 = 36 × 277 मिलता है। अगले गुणज की जाँच करने पर, 9972 + 36 = 10008 मिलता है, जिसमें पाँच अंक हैं, अतः 9972 सबसे बड़ा चार अंकों का गुणज है।
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Q.17
पहले 30 धनात्मक विषम पूर्णांकों, 1 + 3 + 5 + ... + 59, का योग क्या है?
- A 870
- B 930
- C 1770
- D 900
उत्तर देखें
सही उत्तर: (D) 900
पहले n धनात्मक विषम पूर्णांकों का योग n² है, अतः योग 30² = 900 है। स्वतंत्र रूप से जाँचने के लिए, पहले और अंतिम पदों को जोड़ी बनाएँ: 1 + 59 = 60, 3 + 57 = 60, और इसी तरह। ऐसी 15 जोड़ियाँ हैं, जो 15 × 60 = 900 देती हैं।
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Q.18
7 की क्रमागत धनात्मक घातों के इकाई अंक चक्र 7, 9, 3, 1 में दोहराते हैं, जो 7¹ से शुरू होता है। 7^43 का इकाई अंक क्या है?
- A 3
- B 7
- C 9
- D 1
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) 3
चक्र की लंबाई 4 है, और 43 = 4 × 10 + 3, अतः अभीष्ट अंक तीसरी प्रविष्टि, 3 है। चक्र सीमा से जाँचते हुए, 7^40 का अंत 1 में होता है, और 7³ = 343 से गुणा करने पर इकाई अंक 3 मिलता है।
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Q.19
चार अंकों की संख्या 57d2, 9 से विभाज्य है, जहाँ d, 0 से 9 तक का एक अंक है। d क्या है?
- A 3
- B 4
- C 5
- D 7
उत्तर देखें
सही उत्तर: (B) 4
अंकों का योग 5 + 7 + d + 2 = 14 + d है। यह 14 से 23 तक होता है, अतः 9 का एकमात्र संभावित गुणज 18 है। अतः d = 18 − 14 = 4 है। सीधे जाँचने पर, 5742 = 9 × 638।
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Q.20
1000 में जोड़ा जाने वाला सबसे छोटा अऋणात्मक पूर्णांक क्या है ताकि परिणाम 16 से विभाज्य हो जाए?
- A 4
- B 16
- C 8
- D 24
उत्तर देखें
सही उत्तर: (C) 8
चूँकि 1000 = 16 × 62 + 8, अगले गुणज तक पहुँचने के लिए और 16 − 8 = 8 चाहिए। जाँच करने पर, 1000 + 8 = 1008 = 16 × 63। क्रमागत गुणज 992 और 1008, 1000 को घेरते हैं, अतः कोई छोटा अऋणात्मक जोड़ काम नहीं करता।
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Q.21
एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ा एक पूर्णांक है जिसके ठीक दो धनात्मक गुणनखंड हैं। निम्नलिखित में से कौन सी संख्या अभाज्य है?
- A 21
- B 29
- C 39
- D 49
उत्तर देखें
सही उत्तर: (B) 29
संख्याएँ 21 = 3 × 7, 39 = 3 × 13, और 49 = 7 × 7 के 1 और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखंड हैं। किसी भी भाज्य संख्या का एक अभाज्य गुणनखंड उसके वर्गमूल से अधिक नहीं होता। चूँकि √29, 5 और 6 के बीच है, केवल अभाज्य संख्याएँ 2, 3, और 5 जाँचने की आवश्यकता है; इनमें से कोई भी 29 को विभाजित नहीं करता, अतः 29 अभाज्य है।
ये प्रश्न कैसे बने
लेखक: महेश श्रीवास्तव, परीक्षा साथी के संस्थापक। प्रकाशित: 2026-10-03।
GPT द्वारा लिखी अंग्रेज़ी सामग्री का एक AI सहायक (Claude) ने हिंदी में अनुवाद किया - किसी हिंदी मातृभाषी या विषय-विशेषज्ञ ने इसकी समीक्षा नहीं की है।