Pariksha Saathiमात्रात्मक अभियोग्यता
द्विघात समीकरण: उत्तर सहित अभ्यास प्रश्न
द्विघात समीकरण पर उत्तर सहित 14 अभ्यास प्रश्न; ज़्यादातर के साथ व्याख्या या पूरा हल भी है। उत्तर खोलने से पहले हर प्रश्न खुद हल करें।
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Q.1
I. x² − 3x + 2 = 0 II. y² − 7y + 12 = 0. x और y के बीच संबंध ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: x < y
हल:
- I: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) = 0, तो x = 1 या 2।
- II: y² − 7y + 12 = (y − 3)(y − 4) = 0, तो y = 3 या 4।
- x का हर मान (1 या 2) y के हर मान (3 या 4) से छोटा है — बिना किसी बराबरी के सभी चार संयोजन x<y देते हैं।
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Q.2
I. x² − 11x + 30 = 0 II. y² − 9y + 20 = 0. x और y के बीच संबंध ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: x ≥ y
हल:
- I: x² − 11x + 30 = (x − 5)(x − 6) = 0, तो x = 5 या 6।
- II: y² − 9y + 20 = (y − 4)(y − 5) = 0, तो y = 4 या 5।
- हर जोड़े की तुलना: (5,4)→x>y, (5,5)→x=y, (6,4)→x>y, (6,5)→x>y। x कभी y से छोटा नहीं होता, पर बराबर हो सकता है — तो संबंध है x ≥ y।
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Q.3
I. x² − 8x + 15 = 0 II. y² − 2y − 15 = 0. x और y के बीच संबंध ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: निर्धारित नहीं किया जा सकता
हल:
- I: x² − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5) = 0, तो x = 3 या 5।
- II: y² − 2y − 15 = (y − 5)(y + 3) = 0, तो y = 5 या −3। समीकरण II का ऋणात्मक गुणनफल (−15) पहले ही संकेत देता है कि एक मूल ऋणात्मक होगा।
- हर जोड़े की तुलना: (3,5)→x<y, (3,−3)→x>y, (5,5)→x=y, (5,−3)→x>y। परिणाम वास्तव में टकराते हैं (दोनों > और < आते हैं), तो संबंध निर्धारित नहीं किया जा सकता।
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Q.4
द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए x² − 4x − 1 = 0 को हल करें।
उत्तर देखें
उत्तर: x = 2 + √5 या 2 − √5 (≈ 4.24 या ≈ −0.24)
हल:
- यहां a=1, b=−4, c=−1। विविक्तकर D = b² − 4ac = 16 − 4(1)(−1) = 16 + 4 = 20।
- x = [−b ± √D] / 2a = [4 ± √20] / 2 = [4 ± 2√5] / 2 = 2 ± √5।
- तो x = 2 + √5 ≈ 4.24, या x = 2 − √5 ≈ −0.24।
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Q.5
I. x² − 9x + 20 = 0 II. y² − 11y + 30 = 0. x और y के बीच संबंध ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: x ≤ y
हल:
- I: x² − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5) = 0, तो x = 4 या 5।
- II: y² − 11y + 30 = (y − 5)(y − 6) = 0, तो y = 5 या 6।
- हर जोड़े की तुलना: (4,5)→x<y, (4,6)→x<y, (5,5)→x=y, (5,6)→x<y। x कभी y से बड़ा नहीं होता, पर बराबर हो सकता है — तो संबंध है x ≤ y।
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Q.6
I. x² − 7x + 12 = 0 II. y² − 3y + 2 = 0. x और y के बीच संबंध ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: x > y
हल:
- I: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0, तो x = 3 या 4।
- II: y² − 3y + 2 = (y − 1)(y − 2) = 0, तो y = 1 या 2।
- x का हर मान (3 या 4) y के हर मान (1 या 2) से बड़ा है — बिना किसी बराबरी के सभी चार संयोजन x>y देते हैं।
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Q.7
बिना पूरी तरह हल किए, x² + 2x + 5 = 0 के मूलों की प्रकृति तय करें।
उत्तर देखें
उत्तर: कोई वास्तविक मूल नहीं (D = −16 < 0)
हल:
- a=1, b=2, c=5। विविक्तकर D = b² − 4ac = 4 − 20 = −16।
- चूंकि D < 0, समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है (इसके मूल सम्मिश्र हैं)।
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Q.8
द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए x² − 6x − 2 = 0 को हल करें।
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Q.9
बिना हल किए, 2x² − 3x + 5 = 0 के मूलों की प्रकृति तय करें।
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Q.10
I. x² − 6x + 9 = 0 II. y² − 6y + 9 = 0. x और y के बीच संबंध ज्ञात करें।
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Q.11
I. x² − 5x + 6 = 0 II. y² − 4y + 3 = 0. x और y के बीच संबंध ज्ञात करें।
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Q.12
बिना हल किए, x² − 6x + 9 = 0 के मूलों की प्रकृति तय करें।
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Q.13
I. x² − 4x + 3 = 0 II. y² − 11y + 30 = 0. x और y के बीच संबंध ज्ञात करें।
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Q.14
I. x² − x − 12 = 0 II. y² − 7y + 10 = 0. x और y के बीच संबंध ज्ञात करें।
उत्तर देखें
उत्तर: निर्धारित नहीं किया जा सकता। x = 4 या −3; y = 2 या 5; जोड़े दोनों x>y और x<y देते हैं।
ये प्रश्न कैसे बने
लेखक: महेश श्रीवास्तव, परीक्षा साथी के संस्थापक। प्रकाशित: 2026-10-03।