8 में से पाठ 3 · गणित, कक्षा I-V (पेपर I)

गुणा और भाग: पहाड़े, लंबी विधियाँ, शेषफल, गुणनखंड, महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य

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गुणा और भाग का अर्थ

गुणा की शुरुआत बराबर समूहों को गिनने (कक्षा 2 का अध्याय Counting in Groups, यानी समूहों में गिनती) और बार-बार जोड़ने से होती है: 4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12। 4-4 कुर्सियों की 3 पंक्तियों वाली व्यवस्था को घुमाकर देखें तो वह 4 × 3 दिखाती है, इसीलिए क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। भाग के दो अर्थ हैं: बराबर बाँटना (12 लड्डू 3 बच्चों में, हर एक को कितने?) और बराबर समूह बनाना (12 लड्डू, एक डिब्बे में 3, कितने डिब्बे?); दोनों का उत्तर 4 है। समूह बनाना बार-बार घटाना भी है: 12 - 3 - 3 - 3 - 3 करते हुए 4 चरणों में 0 तक पहुँचते हैं। भाग गुणा की प्रतिलोम संक्रिया है: 3 × 4 = 12 से 12 ÷ 3 = 4 और 12 ÷ 4 = 3 मिलते हैं।

पहाड़े और उनके पैटर्न

पहाड़े केवल रटने के बजाय बनाए जाने चाहिए। 5 के पहाड़े के गुणनफल 5 या 0 पर समाप्त होते हैं, और 4 का पहाड़ा 2 के पहाड़े का दोगुना है। 9 के पहाड़े में दहाई का अंक 1 बढ़ता है जबकि इकाई का अंक 1 घटता है, और 18, 27, 36 से 90 तक हर गुणनफल के अंकों का योग 9 होता है। भूला हुआ तथ्य फिर से बनाया जा सकता है: 6 × 7 = 5 × 7 + 7 = 42 और 9 × 8 = 10 × 8 - 8 = 72। 100 से गुणा करने पर हर अंक दो स्थान बाईं ओर खिसक जाता है (47 × 100 = 4,700)। 2 अंकों की संख्या को 11 से गुणा करने के लिए उसके अंकों का योग दोनों अंकों के बीच लिखें: 11 × 23 = 253, और योग 9 से अधिक हो तो हासिल लें, जैसे 11 × 57 = 627।

लंबा गुणा

लिखित विधि स्थानीय मान और वितरण गुणधर्म पर टिकी है। 236 × 47 के लिए पहले 7 से गुणा करके 1,652 पाएँ, फिर 4 दहाई से गुणा करके 9,440 (शून्य बताता है कि यह 40 है, 4 नहीं), और जोड़ें: 11,092। ग्रिड (खानों वाली) विधि दोनों संख्याओं को स्थानीय मान के अनुसार तोड़ती है: (200 + 30 + 6) × (40 + 7) से 8,000 + 1,400 + 1,200 + 210 + 240 + 42 = 11,092 मिलता है; कक्षा 5 का अध्याय Ways to Multiply and Divide (गुणा और भाग के तरीके) भी बच्चों को गुणा करने और भाग देने के एक से अधिक तरीके दिखाता है। गुणा क्रमविनिमेय, साहचर्य (2 × 5 × 37 = 10 × 37 = 370) और वितरण गुणधर्म वाला है: 7 × 105 = 700 + 35 = 735 और 8 × 99 = 800 - 8 = 792। एक संख्या को दोगुना और दूसरी को आधा करने से गुणनफल नहीं बदलता: 25 × 36 = 50 × 18 = 900।

लंबा भाग और शेषफल

सबसे बड़े स्थान से भाग शुरू करें। 5,346 ÷ 6 में 5 हज़ार को 6 में नहीं बाँटा जा सकता, इसलिए 53 सैकड़े से 8 मिलते हैं और 5 सैकड़े बचते हैं, 54 दहाई से 9 और 6 इकाई से 1: भागफल 891 है, और 891 × 6 = 5,346। 2,437 ÷ 12 में 24 सैकड़े से 2, 3 दहाई से 0 दहाई (एक शून्य जिसे लिखना ज़रूरी है) और 37 इकाई से 3 मिलते हैं, 1 बचता है: भागफल 203, शेषफल 1, क्योंकि 12 × 203 + 1 = 2,437। शेषफल सदैव भाजक से छोटा होता है, और शाब्दिक प्रश्नों में उसका अर्थ उत्तर तय करता है: एक ट्रे में 12 के हिसाब से 100 अंडों से 8 ट्रे भरती हैं और 4 अंडे बचते हैं, पर 12 सीटों वाली वैनों में 100 बच्चों के लिए 9 वैन चाहिए। 0 को किसी भी शून्येतर संख्या से भाग देने पर 0 मिलता है, 0 से भाग देने का कोई अर्थ नहीं है, और 12 ÷ 4 तथा 4 ÷ 12 बराबर नहीं हैं।

गुणनखंड, गुणज और अभाज्य संख्याएँ

गुणनखंड किसी संख्या को पूरा-पूरा विभाजित करता है; गुणज वह संख्या है जो दी गई संख्या को 1, 2, 3 आदि से गुणा करके मिलती है। कक्षा 5 का अध्याय Be My Multiple, I'll be Your Factor दोनों विचारों को खेलों के माध्यम से प्रस्तुत करता है, और गुणनखंड आयत बनाकर खोजे जा सकते हैं: 24 गोटियों से 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8 और 4 × 6 की व्यवस्थाएँ बनती हैं, इसलिए 24 के 8 गुणनखंड हैं। गुणनखंड सीमित होते हैं, गुणज कभी समाप्त नहीं होते, और हर संख्या स्वयं की गुणनखंड भी है और गुणज भी। अभाज्य संख्या के ठीक 2 गुणनखंड होते हैं (2, 3, 5, 7, 11 ...), भाज्य संख्या के 2 से अधिक, और 1 न अभाज्य है न भाज्य; 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, और 100 से छोटी अभाज्य संख्याएँ 25 हैं। विभाज्यता के नियम लंबे भाग से बचाते हैं: 2 से, यदि अंतिम अंक सम हो; 3 या 9 से, यदि अंकों का योग 3 या 9 से विभाज्य हो; 4 से, यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 का गुणज हो; 5 से, यदि संख्या 0 या 5 पर समाप्त हो। 7,236 (अंकों का योग 18, अंत में 36) 2, 3, 4, 6 और 9 से विभाज्य है, पर 5 से नहीं।

प्राथमिक स्तर पर महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य

महत्तम समापवर्तक (HCF) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों संख्याओं को विभाजित करे; लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जिसे दोनों संख्याएँ विभाजित करें। इस स्तर पर सूची बनाना पर्याप्त है: 12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 12 और 18 के 1, 2, 3, 6, 9, 18 हैं, इसलिए HCF 6 है; 12 के गुणज 12, 24, 36 ... और 18 के 18, 36 ... हैं, इसलिए LCM 36 है। दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = उनका गुणनफल: 6 × 36 = 216 = 12 × 18। सबसे बड़े बराबर टुकड़े काटने के लिए HCF चाहिए: 24 सेमी और 36 सेमी के फीतों से 12 सेमी के टुकड़े बनते हैं। फिर से एक साथ होने के लिए LCM चाहिए: हर 4 और हर 6 मिनट पर बजने वाली घंटियाँ हर 12 मिनट पर एक साथ बजती हैं, इसलिए पूर्वाह्न 9:00 के बाद वे अगली बार पूर्वाह्न 9:12 पर एक साथ बजेंगी।

मुख्य तथ्य

भाग के दो अर्थ: बाँटना (12 को 3 में, हर एक को कितने?) और समूह बनाना (12 के 3-3 के समूह, कितने समूह?); दोनों का उत्तर 4।
9 का पहाड़ा: इकाई का अंक घटता है तो दहाई का बढ़ता है, और 18 से 90 तक हर गुणनफल के अंकों का योग 9 है।
236 × 47 = 1,652 + 9,440 = 11,092; दूसरी पंक्ति 236 × 40 है, इसलिए उसमें शून्य ज़रूरी है।
वितरण गुणधर्म की युक्तियाँ: 7 × 105 = 700 + 35 = 735; 8 × 99 = 800 - 8 = 792; 11 × 57 = 627।
2,437 ÷ 12 = 203, शेषफल 1; जाँच 12 × 203 + 1 = 2,437; 203 का शून्य छूटना नहीं चाहिए।
शेषफल का अर्थ: 100 अंडे, एक ट्रे में 12, तो 8 ट्रे भरती हैं और 4 बचते हैं; 100 बच्चे, एक वैन में 12, तो 9 वैन चाहिए।
24 के 8 गुणनखंड (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24); 1 न अभाज्य है न भाज्य; 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है; 100 से छोटी अभाज्य संख्याएँ 25 हैं।
7,236: अंकों का योग 18 और अंतिम दो अंक 36, इसलिए यह 2, 3, 4, 6 और 9 से विभाज्य है, पर 5 या 10 से नहीं।
12 और 18 का HCF = 6, LCM = 36, और 6 × 36 = 216 = 12 × 18।
सबसे बड़े बराबर टुकड़े यानी HCF (24 सेमी और 36 सेमी से 12 सेमी के टुकड़े); फिर से एक साथ यानी LCM (हर 4 और 6 मिनट से हर 12 मिनट)।

एक नज़र में दोहराव

गुणा: बराबर समूह, बार-बार जोड़ना, पंक्ति-स्तंभ व्यवस्था; भाग: बाँटना या समूह बनाना, गुणा का प्रतिलोम; 236 × 47 = 11,092; 2,437 ÷ 12 = 203, शेषफल 1; शेषफल < भाजक, स्थिति के अनुसार ऊपर या नीचे पूर्णांकन; गुणा क्रमविनिमेय, साहचर्य, वितरण; 0 से भाग का कोई अर्थ नहीं; अभाज्य के ठीक 2 गुणनखंड, 1 दोनों में से कोई नहीं, 2 एकमात्र सम अभाज्य; बराबर भागों के लिए HCF, फिर साथ होने के लिए LCM; HCF × LCM = गुणनफल।

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