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गणित, कक्षा I-V (पेपर I): मुख्य तथ्य और अभ्यास प्रश्न

CTET और राज्य TET परीक्षाओं के लिए गणित, कक्षा I-V (पेपर I) दोहराएँ: बार-बार पूछे जाने वाले तथ्य और अंतर, एक नज़र में दोहराने की सूची, और उत्तर तथा स्पष्टीकरण सहित 10 अभ्यास प्रश्न।

AI की सहायता से तैयार किया गया और 2026-10-15 को तथ्यों की जाँच की गई; हिन्दी पाठ को प्रकाशक ने 16 अक्टूबर 2026 को पढ़कर स्वीकृत किया। कोई गलती दिखे तो हमें बताइए। संपादकीय मानक और सुधार

अभ्यास प्रश्नों पर जाएँ ↓

मुख्य अवधारणाएँ और तथ्य

संख्याएँ: स्थानीय मान किसी अंक को उसके स्थान से मिलने वाला मान है; अंकित मान स्वयं वह अंक है। 4,73,256 में 7 का स्थानीय मान 70,000 और अंकित मान 7 है। भारतीय पद्धति में पहला अल्पविराम सैकड़े के बाद और फिर हर दो अंकों के बाद लगता है: 1 लाख = 1,00,000 = 100 हज़ार। खाली स्थानों पर शून्य लिखा जाता है, इसलिए चार लाख पाँच हज़ार तीस = 4,05,030। निकटतम सैकड़े तक पूर्णांकन के लिए दहाई का अंक देखें: 6,449 से 6,400 बनता है, पर 6,451 से 6,500। सम संख्याओं के अंत में 0, 2, 4, 6 या 8 होता है; विषम + विषम और सम + सम, दोनों सम होते हैं, जबकि विषम + सम विषम होता है। क्रमसूचक संख्याएँ: आगे से 14वाँ और पीछे से 9वाँ बच्चा 14 + 9 - 1 = 22 बच्चों की पंक्ति में खड़ा है।
जोड़ और घटाव: स्थान के नीचे स्थान रखकर लिखें और पुनः समूहन करें: दस इकाई से एक दहाई बनती है। 7,003 - 2,486 में शून्यों के पार पुनः समूहन होता है और उत्तर 4,517 आता है; जाँच: 2,486 + 4,517 = 7,003। जोड़ और घटाव एक-दूसरे को उलट देते हैं, इसी से लुप्त संख्याएँ ज्ञात होती हैं।
गुणा और भाग: गुणा बार-बार जोड़ना है, या पंक्तियों और स्तंभों की व्यवस्था। क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, और किसी संख्या को तोड़ा जा सकता है: 23 × 15 = 23 × 10 + 23 × 5 = 345। 47 × 36 में दूसरा आंशिक गुणनफल 47 × 30 = 1,410 है, 141 नहीं। भाग बराबर बाँटना या बार-बार घटाना है। भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल, और शेषफल सदैव भाजक से कम होता है: 1,000 ÷ 7 से भागफल 142 और शेषफल 6 मिलता है। शाब्दिक प्रश्नों में तय करें कि शेषफल का क्या अर्थ है: 45 सीटों वाली बसों में 460 बच्चों के लिए 10 नहीं, 11 बसें चाहिए। गुणनखंड किसी संख्या को पूरा-पूरा विभाजित करते हैं (36 के 9 हैं), गुणज कभी समाप्त नहीं होते, और सार्व गुणज बताते हैं कि दो घंटियाँ अगली बार एक साथ कब बजेंगी।
भिन्न और दशमलव: भिन्न किसी पूरे के या किसी समूह के बराबर भागों को दर्शाती है: 56 आमों का 3/4 = 42। अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग करने पर तुल्य भिन्न बनती हैं: 2/8 = 1/4। समान भिन्नों में बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है। दसवें और सौवें भाग स्थानीय मान को दाईं ओर आगे बढ़ाते हैं: 0.37 = 3 दसवें और 7 सौवें, ₹ 25 और 5 पैसे = ₹ 25.05, तथा 6.08 m = 6 m 8 cm।
ज्यामिति, आकृतियाँ और ठोस: बच्चे समतल आकृतियों से पहले ठोसों (घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला) से परिचित होते हैं। घन के 6 फलक, 12 किनारे और 8 शीर्ष होते हैं; घनाभ के भी इतने ही होते हैं, पर उसके फलक आयताकार होते हैं; बेलन के 2 समतल वृत्ताकार फलक और 1 वक्र पृष्ठ होता है; शंकु का 1 समतल फलक और 1 शीर्ष होता है; गोले का केवल वक्र पृष्ठ होता है। वर्ग में सममिति की 4 रेखाएँ, वर्ग न होने वाले आयत में 2 और समबाहु त्रिभुज में 3 होती हैं। जाल (नेट), टैनग्राम, कोण (समकोण, न्यूनकोण, अधिककोण), सरल नक्शे और ऊपर से दिखने वाले दृश्य स्थानिक समझ विकसित करते हैं।
मापन, भार, समय और आयतन: 1 m = 100 cm, 1 km = 1,000 m और 1 cm = 10 mm; 1 kg = 1,000 g; 1 लीटर = 1,000 mL। 1 घंटा = 60 मिनट और 1 दिन = 24 घंटे; अपराह्न 4:30 को 24-घंटे की घड़ी में 16:30 लिखते हैं। परिमाप किसी आकृति के चारों ओर की दूरी है, आयत के लिए 2 × (लंबाई + चौड़ाई); क्षेत्रफल उसे ढकने वाले इकाई वर्गों की संख्या है, लंबाई × चौड़ाई। 5 cm × 3 cm के आयत का परिमाप 16 cm और क्षेत्रफल 15 वर्ग cm है। इस स्तर पर आयतन इकाई घनों को गिनकर ज्ञात किया जाता है।
आँकड़ों का प्रबंधन, पैटर्न और धन: मिलान चिह्न आँकड़े दर्ज करते हैं; चित्रालेख और दंड आलेख उन्हें दिखाते हैं। कुंजी पढ़ें: यदि एक चिह्न 5 बच्चों को दर्शाता है, तो 4 चिह्नों का अर्थ 20 है। पैटर्न में दोहराने वाले पैटर्न, बढ़ते संख्या पैटर्न (2, 5, 10, 17, 26 के अंतर 3, 5, 7, 9 हैं), विषम संख्याओं के योग (पहली n विषम संख्याओं का योगफल n × n होता है) और जादुई वर्ग आते हैं: 1 से 9 वाले वर्ग में हर रेखा का योगफल 15 होता है और केंद्र में 5 होता है। धन: ₹ 1 = 100 पैसे; दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखकर राशियाँ जोड़ें और घटाएँ, और सरल बिल दर × मात्रा के रूप में बनाएँ।
सामान्य त्रुटियाँ: भागफल में शून्य छोड़ देना, हर स्तंभ में बड़े अंक में से छोटा अंक घटाना, अंश-अंश और हर-हर जोड़ना (1/2 + 1/4 = 3/4 है, 2/6 नहीं), 0.65 को 0.7 से बड़ा मानना, ऐसा शेषफल छोड़ना जो भाजक से कम न हो, और क्षेत्रफल तथा परिमाप में भ्रम। हर उत्तर को दूसरे तरीके से जाँचें: आकलन करें, प्रतिलोम संक्रिया का उपयोग करें या वापस रखकर देखें।

एक नज़र में दोहराने की सूची

स्थानीय मान: 4,73,256 में 7 का मान 70,000 है, जबकि इसका अंकित मान 7 है।
भारतीय पद्धति: 1 लाख = 1,00,000 = 100 हज़ार, इसलिए चार लाख पाँच हज़ार तीस = 4,05,030।
पूर्णांकन: 4,67,549 को निकटतम हज़ार तक पूर्णांकित करने पर 4,68,000 मिलता है, क्योंकि 549 कम-से-कम 500 है।
शून्यों के पार घटाव: 7,003 - 2,486 = 4,517; जाँच: 2,486 + 4,517 = 7,003।
भाग की जाँच: 1,000 = 7 × 142 + 6, इसलिए 1,000 ÷ 7 से भागफल 142 और शेषफल 6 मिलता है (6 < 7)।
भागफल में शून्य: 8,424 ÷ 8 = 1,053, 153 नहीं, क्योंकि 4 सैकड़े ÷ 8 से 0 पूरे सैकड़े मिलते हैं, इसलिए भागफल के सैकड़े के स्थान पर 0 आता है।
तुल्य भिन्न: 3/5 = 21/35 (दोनों को 7 से गुणा) और 2/8 = 1/4 (दोनों को 2 से भाग)।
दशमलव: ₹ 25 और 5 पैसे = ₹ 25.05, 6.08 m = 6 m 8 cm, और 0.7 = 0.70, जो 0.65 से बड़ा है।
ठोस: घन के 6 फलक, 12 किनारे और 8 शीर्ष होते हैं; शंकु का 1 समतल फलक, 1 वक्र पृष्ठ और 1 शीर्ष होता है।
क्षेत्रफल और परिमाप: 5 cm × 3 cm के आयत का क्षेत्रफल 15 वर्ग cm और परिमाप 16 cm है।
1 से 9 का जादुई वर्ग: पंक्तियाँ 4, 9, 2 / 3, 5, 7 / 8, 1, 6; हर पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण का योगफल 15 है।

विस्तार से पाठ

गणित, कक्षा I-V (पेपर I) पर 8 विस्तृत पाठ, हर उप-विषय पर एक, अपने मुख्य तथ्यों और एक नज़र में दोहराव के साथ।

अभ्यास प्रश्न

उत्तर खोलने से पहले हर प्रश्न स्वयं हल करें।

1. 4,73,256 में 7 का स्थानीय मान क्या है? (A) 70,000 (B) 7,000 (C) 7,00,000 (D) 7

उत्तर: (A) 70,000. 4,73,256 में 7 दस हज़ार के स्थान पर है, इसलिए इसका स्थानीय मान 7 × 10,000 = 70,000 है। इसका अंकित मान केवल 7 है।

2. एक स्टेडियम में 10,000 सीटें हैं। यदि 3,689 लोग पहले से बैठे हैं, तो और कितने लोग बैठ सकते हैं? (A) 6,321 (B) 6,411 (C) 6,311 (D) 7,421

उत्तर: (C) 6,311. 10,000 - 3,689 = 6,311। जाँच: 3,689 + 6,311 = 10,000। प्रत्येक अंक को बिना पुनः समूहन के 10 में से घटाने पर 7,421 आता है।

3. एक मुर्गी फार्म 1,000 अंडों को 30-30 अंडों वाली ट्रे में पैक करता है। अधिक-से-अधिक कितनी ट्रे पूरी भरी जा सकती हैं, और कितने अंडे बचेंगे? (A) 33 ट्रे, 10 अंडे बचे (B) 34 ट्रे, 10 अंडे बचे (C) 32 ट्रे, 40 अंडे बचे (D) 330 ट्रे, 10 अंडे बचे

उत्तर: (A) 33 ट्रे, 10 अंडे बचे. 30 × 33 = 990, और 1,000 - 990 = 10 अंडे बचते हैं, जो एक और ट्रे के लिए कम हैं। 32 ट्रे भरने पर 40 अंडे बचते, जिनसे एक ट्रे और भर सकती है।

4. एक रुपये के 3/4 भाग में कितने पैसे होते हैं? (A) 30 पैसे (B) 75 पैसे (C) 25 पैसे (D) 34 पैसे

उत्तर: (B) 75 पैसे. ₹ 1 = 100 पैसे; 100 का 1/4 = 25, इसलिए 100 का 3/4 = 3 × 25 = 75 पैसे।

5. एक जादुई त्रिभुज की भुजाओं पर 1 से 9 तक की संख्याएँ, हर भुजा पर चार, इस प्रकार रखी जाती हैं कि हर भुजा का योगफल समान हो। यदि कोनों पर 1, 2 और 3 हैं, तो प्रत्येक भुजा का योगफल क्या है? (A) 17 (B) 15 (C) 18 (D) 16

उत्तर: (A) 17. तीनों भुजाओं को जोड़ने पर हर संख्या एक बार और हर कोने की संख्या दो बार गिनी जाती है: 45 + (1 + 2 + 3) = 51। इसलिए हर भुजा का योगफल 51 ÷ 3 = 17 है; एक व्यवस्था: 1, 6, 8, 2 / 2, 5, 7, 3 / 3, 4, 9, 1।

6. एक बस एक कस्बे से 21:40 पर चलती है और अगली सुबह 06:15 पर एक शहर पहुँचती है। यात्रा में कितना समय लगता है? (A) 8 घंटे 35 मिनट (B) 15 घंटे 25 मिनट (C) 9 घंटे 35 मिनट (D) 8 घंटे 25 मिनट

उत्तर: (A) 8 घंटे 35 मिनट. 21:40 से आधी रात (24:00) तक 2 घंटे 20 मिनट, और आधी रात से 06:15 तक 6 घंटे 15 मिनट। कुल = 8 घंटे 35 मिनट।

7. एक जैसे घनों की एक ही परत से एक सीढ़ी बनाई गई है। सबसे नीचे की पंक्ति में 5 घन हैं, और ऊपर की हर पंक्ति में नीचे वाली से एक घन कम है, सबसे ऊपर की पंक्ति में 1 घन है। कितने घन लगे हैं? (A) 10 घन (B) 15 घन (C) 21 घन (D) 25 घन

उत्तर: (B) 15 घन. पंक्तियों में 5, 4, 3, 2 और 1 घन हैं, अतः 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 घन। जाँच: 5 पंक्तियाँ, औसतन 3 घन, 5 × 3 = 15।

उत्तर: (C) 2028. फ़रवरी में 29 दिन लीप वर्ष (अधिवर्ष) में होते हैं, जो, 1900 जैसे शताब्दी वर्षों को छोड़कर, 4 से पूरी तरह विभाज्य वर्ष होता है। 2028 ÷ 4 = 507, जबकि 2026, 2027 और 2030 में 4 से भाग पूरा नहीं जाता।

9. निम्नलिखित में से सबसे अधिक राशि कौन-सी है? (A) ₹ 4.05 (B) ₹ 4 और 45 पैसे (C) 450 पैसे (D) 448 पैसे

उत्तर: (C) 450 पैसे. सबको पैसों में बदलें: 450 पैसे, ₹ 4.05 = 405 पैसे, ₹ 4 और 45 पैसे = 445 पैसे, और 448 पैसे। सबसे अधिक 450 पैसे (₹ 4.50) है।

10. एक ज्योमेट्री बॉक्स का मूल्य ₹ 46.30 और एक पेंसिल बॉक्स का मूल्य ₹ 29.85 है। ज्योमेट्री बॉक्स पेंसिल बॉक्स से कितने रुपये महँगा है? (A) ₹ 23.55 (B) ₹ 16.45 (C) ₹ 17.45 (D) ₹ 76.15

उत्तर: (B) ₹ 16.45. ₹ 46.30 − ₹ 29.85 = ₹ 16.45 (पैसे और रुपये के स्तंभों में उधार लेकर)। जाँच: 29.85 + 16.45 = 46.30। (₹ 23.55 हर स्तंभ में छोटे अंक को बड़े अंक से घटाने की भूल से आता है।)

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