Pariksha Saathi8 में से पाठ 4 · गणित, कक्षा I-V (पेपर I)
प्राथमिक स्तर पर भिन्न और दशमलव: तुल्य भिन्न, तुलना, जोड़ और धन
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भिन्न की शुरुआत
बच्चे प्रतीकों से बहुत पहले भिन्न वाले शब्द बोलते हैं: आधी रोटी, पाव घंटा, पौना गिलास। NCERT कक्षा 4 (आधे और चौथाई वाला अध्याय, Halves and Quarters) और कक्षा 5 (भाग और पूर्ण वाला अध्याय, Parts and Wholes) में कागज़ मोड़कर, आकृतियाँ काटकर और वस्तुएँ बाँटकर इसी पर आगे बढ़ती है। मुख्य विचार बराबर भाग है: 4 असमान टुकड़ों में कटा वृत्त चौथाई नहीं दिखाता। 3/4 में 4 हर है, जो बताता है कि पूरे को कितने बराबर भागों में बाँटा गया है, और 3 अंश है, जो बताता है कि उनमें से कितने भाग लिए गए हैं। भिन्न पूरे का भाग (क्षेत्र), समूह का भाग (20 बच्चों का 3/4), संख्या रेखा पर एक बिंदु, एक माप (1/2 मीटर) या भाग का परिणाम हो सकती है: 3 रोटियाँ 4 बच्चों में बराबर बाँटने पर हर बच्चे को 3/4 रोटी मिलती है।
इकाई भिन्न और समूह की भिन्न
इकाई भिन्न का अंश 1 होता है। पूरे को जितने अधिक भागों में काटें, हर भाग उतना ही छोटा होता है, इसलिए 1/8 भिन्न 1/5 से छोटी है; यह उन बच्चों को चौंकाता है जो जानते हैं कि 8, 5 से बड़ा है, और बाँटने की एक कहानी (एक केक 8 मित्रों में या 5 में) बात साफ़ कर देती है। समूह की भिन्न ज्ञात करने के लिए हर से भाग दें और अंश से गुणा करें: 30 का 2/5 = 30 ÷ 5 × 2 = 12। भिन्न मापन में भी आती हैं: 3/4 घंटा 45 मिनट है, 1/4 किग्रा 250 ग्राम और 3/4 मीटर 75 सेमी है। 1 से छोटी भिन्न उचित भिन्न होती हैं; 1 के बराबर या उससे बड़ी भिन्न विषम भिन्न (अनुचित भिन्न) होती हैं और उन्हें मिश्रित भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है: 7/4 = 1 3/4, क्योंकि 7 चौथाई से एक पूरा और 3 चौथाई और बनते हैं।
तुल्य भिन्न
कागज़ की पट्टी को आधा, फिर आधा और फिर आधा मोड़ने से दिखता है कि 1/2 = 2/4 = 4/8: भाग छोटे होते जाते हैं, पर अधिक भाग लिए जाते हैं। अंश और हर दोनों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग करने पर तुल्य भिन्न (समतुल्य भिन्न) मिलती है, और दोनों को उनके HCF से भाग देने पर सरलतम (न्यूनतम) रूप मिलता है: 18/24 = 3/4 (दोनों को 6 से भाग)। दो भिन्न तुल्य होती हैं जब उनके तिर्यक गुणनफल बराबर हों: 2/3 और 10/15 तुल्य हैं, क्योंकि 2 × 15 = 3 × 10 = 30। अंश और हर में एक ही संख्या जोड़ने से तुल्य भिन्न नहीं बनती: 1/2 के दोनों पदों में 1 जोड़ने से 2/3 मिलता है, जो 1/2 के बराबर नहीं है।
भिन्नों की तुलना और क्रम
समान हर (समान या सजातीय भिन्न) होने पर बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है: 5/9 > 4/9। समान अंश होने पर छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है: 3/5 > 3/7, क्योंकि पाँचवाँ भाग सातवें भाग से बड़ा टुकड़ा है। अन्यथा हर बराबर कर लें: 2/3 = 8/12 और 3/4 = 9/12, इसलिए 3/4 बड़ी है। आधा एक उपयोगी कसौटी है: 3/8 भिन्न 1/2 (यानी 4/8) से छोटी है, जबकि 4/7 भिन्न 1/2 से बड़ी है, क्योंकि 4, 7 के आधे से अधिक है। इकाई भिन्न हर घटने के साथ बढ़ती हैं, इसलिए आरोही क्रम में वे 1/6, 1/3, 1/2 हैं।
समान भिन्नों का जोड़ और घटाव
जब टुकड़े एक ही आकार के हों, तो बस उन्हें गिनें: 2/7 + 3/7 = 5/7 और 5/8 - 3/8 = 2/8 = 1/4। हर से टुकड़े का आकार पता चलता है और जोड़ने पर हर नहीं बदलता, इसलिए 2/7 + 3/7 = 5/14 गलत है; भिन्न-पट्टी दिखाती है कि 5 सातवें भाग फिर भी सातवें भाग ही हैं। पूरे में से भाग निकालने के लिए 1 को उसी हर वाली भिन्न के रूप में लिखें: यदि रवि केक का 3/8 और सीता 2/8 खाती है, तो दोनों मिलकर 5/8 खाते हैं और 1 - 5/8 = 3/8 बचता है। आधे, चौथाई, तिहाई और छठे भाग के साथ बच्चे मोड़कर एक भिन्न को दूसरी में बदल सकते हैं: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2।
माप और धन से दशमलव
कक्षा 5 का दशमलव वाला अध्याय (Tenths and Hundredths) उन मापों से शुरू होता है जिन्हें बच्चे पहले से जानते हैं। 1 सेमी = 10 मिमी, इसलिए 1 मिमी = 1/10 सेमी = 0.1 सेमी और 4 सेमी 7 मिमी = 4.7 सेमी; 1 पैसा एक रुपये का 1/100 है, इसलिए ₹ 7.75 का अर्थ 7 रुपये 75 पैसे है। दशमलव बिंदु पूर्ण संख्या को भागों से अलग करता है, और उसके दाईं ओर के स्थान दसवें भाग (दशांश), सौवें भाग (शतांश) आदि के हैं: 46.27 में 2 का मान 2 दसवें (0.2) और 7 का मान 7 सौवें (0.07) है। सामान्य भिन्न सीधे बदल जाती हैं: 1/2 = 0.5, 1/4 = 0.25, 3/4 = 0.75 और 1/10 = 0.1। दशमलवों की तुलना के लिए उनके दशमलव स्थान बराबर कर लें: 0.5 = 0.50, जो 0.45 से बड़ा है, भले ही 0.45 में अधिक अंक हैं, और 2.3 = 2.30।
धन की गणनाएँ
रुपये-पैसे दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखकर जोड़े और घटाए जाते हैं: ₹ 45.50 + ₹ 28.75 = ₹ 74.25, और ₹ 100 में से ₹ 25.75 वापस मिलेंगे। बिल में दर को मात्रा से गुणा किया जाता है: ₹ 42.50 प्रति किग्रा की दर से 3 किग्रा चावल का मूल्य ₹ 127.50 है। दुकान के खेल, मूल्य-सूचियाँ और बिल बच्चों को दशमलव शब्द से मिलने से पहले ही दशमलव से काम करने का कारण देते हैं।
मुख्य तथ्य
- भाग बराबर होने चाहिए: 4 असमान टुकड़ों में कटी आकृति चौथाई नहीं दिखाती; 3/4 में 4 हर (बराबर भाग) और 3 अंश (लिए गए भाग) है।
- इकाई भिन्न: 1/8 < 1/5, क्योंकि अधिक लोगों में बाँटने पर हिस्सा छोटा होता है।
- समूह की भिन्न: 30 का 2/5 = 30 ÷ 5 × 2 = 12; 3/4 घंटा = 45 मिनट; 1/4 किग्रा = 250 ग्राम।
- सरलतम रूप: 18/24 = 3/4 (दोनों पदों को उनके HCF 6 से भाग); 2/3 = 10/15, क्योंकि 2 × 15 = 3 × 10।
- तुलना: 5/9 > 4/9 (समान हर), 3/5 > 3/7 (समान अंश), और 3/4 > 2/3 क्योंकि 9/12 > 8/12।
- समान भिन्न: 2/7 + 3/7 = 5/7, 5/14 नहीं; 5/8 - 3/8 = 2/8 = 1/4।
- भिन्न भाग के परिणाम के रूप में: 3 रोटियाँ 4 बच्चों में बाँटने पर हर एक को 3/4 रोटी; 7/4 = 1 3/4।
- दशमलव: 4 सेमी 7 मिमी = 4.7 सेमी; 46.27 में 7 का मान 7 सौवें है; 0.5 > 0.45 क्योंकि 0.50 > 0.45।
- धन: ₹ 45.50 + ₹ 28.75 = ₹ 74.25; ₹ 100 में से वापसी = ₹ 25.75; ₹ 42.50 प्रति किग्रा पर 3 किग्रा = ₹ 127.50।
एक नज़र में दोहराव
भिन्न = बराबर भाग; हर = पूरे के बराबर भाग, अंश = लिए गए भाग; 1/8 < 1/5; 30 का 2/5 = 12; तुल्य भिन्न: दोनों पदों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग, 18/24 = 3/4; समान भिन्न: केवल अंशों की तुलना और जोड़ (2/7 + 3/7 = 5/7); 1 मिमी = 0.1 सेमी, 1 पैसा = ₹ 0.01; 0.5 > 0.45; ₹ 45.50 + ₹ 28.75 = ₹ 74.25।