Pariksha Saathi8 में से पाठ 3 · गणित शिक्षाशास्त्र
गणित की भाषा, शाब्दिक समस्याएँ और सामुदायिक गणित
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भाषा के रूप में गणित
गणित के अपने प्रतीक (+, −, ×, ÷, =, <, >, %), अपनी शब्दावली (अंश, परिमाप, भागफल, समांतर) और अपना व्याकरण है, जिसमें क्रम और स्थान से अर्थ बदलता है: 52 और 25 एक नहीं हैं, 8 − 5 और 5 − 8 एक नहीं हैं, और 3a का अर्थ 3 × a है। प्रतीक एक विचार को संक्षिप्त करता है, इसलिए जो बच्चा प्रतीकों के पीछे का विचार जाने बिना उन्हें पढ़ता है, वह ऐसी भाषा पढ़ रहा होता है जिसे वह समझता नहीं। इसलिए प्रतीक अनुभव और बातचीत के बाद आने चाहिए, पहले नहीं: पहले क्रिया (3 कंचे और 4 कंचे साथ रखना), फिर रोज़मर्रा के शब्द ('3 और 4 मिलकर 7'), फिर गणितीय शब्द ('योगफल'), और उसके बाद ही 3 + 4 = 7।
दूसरा अर्थ रखने वाले शब्द
कई गणितीय शब्द रोज़मर्रा के साधारण शब्द हैं जिनका गणित में विशेष अर्थ होता है। अंग्रेज़ी में table, product, difference, volume, odd, mean, face, degree, power और right (right angle वाला) ऐसे ही शब्द हैं; हिंदी में भी अंतर, विषम, अंश, हर, भाग, घात और मूल का रोज़ का अर्थ एक है और गणित का अर्थ दूसरा। कुछ वाक्यांशों में संख्याएँ उस क्रम में नहीं आतीं जिसमें प्रतीक लिखे जाते हैं: '3 को 10 में से घटाओ' का अर्थ 10 − 3 है, और अंग्रेज़ी के '5 less than 8' का अर्थ 8 − 5 है। जिन बच्चों ने मुख्य-शब्द की युक्तियाँ ('अधिक का अर्थ जोड़, बचे का अर्थ घटाव') सीख ली हैं, वे तब गलती करते हैं जब शब्द विश्वसनीय संकेत नहीं होते: 'रवि के पास 12 कंचे हैं। उसके पास सीता से 5 अधिक हैं। सीता के पास कितने हैं?' में 'अधिक' शब्द है, फिर भी उत्तर 12 − 5 = 7 है। इसका उपाय मुख्य शब्द खोजना नहीं, बल्कि स्थिति को अभिनय या चित्र द्वारा समझना है।
शाब्दिक समस्याएँ कठिन क्यों हैं
शाब्दिक समस्याओं में कठिनाई प्रायः गणना में नहीं, पढ़ने और समझने में होती है। न्यूमैन का त्रुटि विश्लेषण (ऐन न्यूमैन, 1977) उन चरणों का अनुसरण करता है जिनसे बच्चे को गुज़रना होता है: समस्या को पढ़ना, उसे समझना, उसे गणितीय रूप में बदलना (रूपांतरण), गणना के लिए प्रक्रिया-कौशल का उपयोग करना, और उत्तर को समस्या के संदर्भ में फिर से व्यक्त करना (एनकोडिंग)। कई त्रुटियाँ कोई भी अंकगणित करने से पहले ही हो जाती हैं। शिक्षक समस्या को ज़ोर से पढ़कर, बच्चों से उसे अपने शब्दों में दोहराने को कहकर, उसका चित्र बनाकर या अभिनय करके, परिचित नामों और संदर्भों का उपयोग करके, और बच्चों से 20 ÷ 4 जैसे संख्या-वाक्य के लिए कहानी बनवाकर मदद करता है; इससे पता चलता है कि वे संक्रिया को समझते हैं या नहीं।
घर की भाषा और स्कूली गणित
बच्चे ऐसी घरेलू भाषा के साथ स्कूल आते हैं जो पाठ्यपुस्तक की भाषा से भिन्न हो सकती है, और उनके संख्या-शब्द अलग पैटर्न पर चल सकते हैं। 11 से 99 तक के अधिकांश हिंदी संख्या-नाम दहाई से पहले इकाई बोलते हैं: सत्तावन (57) का शाब्दिक अर्थ है सात और पचास, जबकि अंक में पहले दहाई लिखी जाती है; इससे 75 लिखने जैसी उलट त्रुटियाँ हो सकती हैं। उनतीस (29) जैसे नाम का अर्थ है तीस से एक कम, और अंग्रेज़ी में 13 से 19 तक के नाम भी पहले इकाई बोलते हैं। जो बच्चा अपनी मातृभाषा में मात्राओं को अच्छी तरह सँभालता है, वह केवल इसलिए कमज़ोर दिख सकता है कि स्कूल के शब्द उसके लिए नए हैं। NCF 2005 बहुभाषिकता को एक संसाधन मानती है: बच्चों को उस भाषा में तर्क करने और समझाने दें जो वे जानते हैं, उनके अनौपचारिक शब्दों को स्वीकार करें, और फिर मानक शब्दावली तक सेतु बनाएँ।
नृजातीय गणित
बच्चे घर और समुदाय से भी गणित लाते हैं। ब्राज़ील के गणितज्ञ उबिरतान डी'एम्ब्रोसियो ने सांस्कृतिक समूहों द्वारा व्यवहार में लाए जाने वाले गणित को नृजातीय गणित (ethnomathematics) नाम दिया: किनारी का पैटर्न बनाने के लिए धागे गिनते बुनकर, नापते और समकोण बनाते राजमिस्त्री और बढ़ई, ज़मीन और फ़सल का अनुमान लगाते किसान, बिंदुओं के जाल पर सममित कोलम और रंगोली बनाती महिलाएँ, आकारों और मापों के साथ काम करते कुम्हार और दर्ज़ी, और बालिश्त, हाथ तथा बीघा जैसी पारंपरिक इकाइयाँ। ब्राज़ील में बाल फेरीवालों पर कैरहर, कैरहर और श्लीमन (1985) के एक प्रसिद्ध अध्ययन में पाया गया कि जो बच्चे बेचते समय सही गणना करते थे, वे वही सवाल स्कूल के लिखित रूप में दिए जाने पर अक्सर गलत कर देते थे: ज्ञान वास्तविक था, पर स्कूल उससे जुड़ नहीं पाया था।
कक्षा में सामुदायिक गणित का उपयोग
शिक्षक इस ज्ञान को गलत या अवैज्ञानिक नहीं, बल्कि शुरुआती बिंदु मानता है। वह असली मूल्य-सूचियों के साथ कक्षा में दुकान बना सकता है, बच्चों से पूछ सकता है कि उनके परिवार ज़मीन, अनाज या कपड़ा कैसे नापते हैं, किसी राजमिस्त्री या दर्ज़ी को अपनी विधियाँ दिखाने बुला सकता है, किसी स्थानीय इकाई की तुलना मानक इकाई से कर सकता है, और मानक लिखित कलन-विधि सिखाने से पहले बच्चों की अपनी मौखिक विधियों को स्वीकार कर सकता है। भारत की विरासत भी सहायक है: भास्कराचार्य की लीलावती (12वीं शताब्दी) ने रोज़मर्रा की स्थितियों पर पद्य-समस्याओं के माध्यम से अंकगणित सिखाया। जब स्कूली गणित घर और बाज़ार के गणित का सम्मान करता है, तो बच्चे देखते हैं कि वे पहले से ही गणितीय चिंतक हैं।
परीक्षा की दृष्टि से
जब कोई बच्चा बाज़ार में मौखिक सवाल हल कर लेता है पर लिखित रूप में असफल होता है, तो सही कदम अनौपचारिक विधि पर निर्माण करना और उसे लिखित प्रतीकों से जोड़ना है। जब कोई बच्चा शाब्दिक समस्याओं में कठिनाई अनुभव करता है, तो सही कदम भाषा और बोध पर काम करना है (दोहराना, चित्र बनाना, अभिनय), अधिक गणना-अभ्यास देना नहीं। बच्चे की घरेलू भाषा, स्थानीय इकाइयों या उसकी अपनी विधि को अस्वीकार करना हमेशा गलत विकल्प है।
मुख्य तथ्य
- गणितीय भाषा में क्रम से अर्थ बदलता है: 52 और 25 अलग हैं, 8 − 5 और 5 − 8 अलग हैं, और अंग्रेज़ी का '5 less than 8' 8 − 5 लिखा जाता है।
- गणित में विशेष अर्थ वाले साधारण शब्द: अंग्रेज़ी में table, product, difference, volume, odd, mean, face, degree, power, right; हिंदी में अंतर, विषम, अंश, हर, भाग, घात, मूल।
- मुख्य-शब्द का जाल: 'रवि के पास 12 कंचे हैं, सीता से 5 अधिक। सीता के पास कितने?' में 'अधिक' है, पर 12 − 5 = 7 करना है। बच्चों को स्थिति समझना सिखाएँ, मुख्य शब्द खोजना नहीं।
- प्रतीकों का क्रम: वस्तुओं के साथ क्रिया, फिर रोज़मर्रा के शब्द, फिर गणितीय शब्द, फिर प्रतीक (3 + 4 = 7)।
- न्यूमैन का त्रुटि विश्लेषण (1977): पढ़ना, समझना, रूपांतरण, प्रक्रिया-कौशल, एनकोडिंग; शाब्दिक समस्याओं की कई त्रुटियाँ गणना से पहले ही हो जाती हैं।
- समस्या-निर्माण (problem posing): बच्चों से 20 ÷ 4 के लिए कहानी लिखवाने से पता चलता है कि वे भाग को समान बँटवारे या समूहन के रूप में समझते हैं या नहीं।
- हिंदी संख्या-नाम पहले इकाई बोलते हैं: सत्तावन (57) यानी सात और पचास, जिससे 75 जैसी उलट त्रुटि हो सकती है; उनतीस (29) यानी तीस से एक कम।
- नृजातीय गणित (ethnomathematics): ब्राज़ील के गणितज्ञ उबिरतान डी'एम्ब्रोसियो का दिया नाम; बुनकरों, राजमिस्त्रियों, किसानों और कोलम या रंगोली बनाने वालों जैसे सांस्कृतिक समूहों का गणित।
- कैरहर, कैरहर और श्लीमन (1985): ब्राज़ील के बाल फेरीवाले बाज़ार में सही गणना करते थे, पर वही सवाल स्कूल के लिखित रूप में अक्सर गलत कर देते थे।
- भास्कराचार्य की लीलावती (12वीं शताब्दी) ने रोज़मर्रा की स्थितियों पर पद्य-समस्याओं के माध्यम से अंकगणित सिखाया।
एक नज़र में दोहराव
गणित के अपने प्रतीक, शब्दावली और व्याकरण हैं; क्रम महत्त्वपूर्ण ('5 less than 8' = 8 − 5); प्रतीक क्रिया और बातचीत के बाद; मुख्य-शब्द की युक्तियाँ विफल; न्यूमैन: पढ़ना, समझना, रूपांतरण, प्रक्रिया-कौशल, एनकोडिंग; समस्या-निर्माण; हिंदी नाम पहले इकाई बोलते हैं (सत्तावन 57); बहुभाषिकता संसाधन है; नृजातीय गणित (डी'एम्ब्रोसियो); ब्राज़ील के बाल फेरीवालों का अध्ययन 1985; घर और बाज़ार के गणित पर निर्माण करें।