शिक्षाशास्त्र

CTET गणित शिक्षाशास्त्र प्रश्न उत्तर हिंदी में

CTET पेपर I और पेपर II (गणित) की तैयारी के लिए गणित शिक्षाशास्त्र पर उत्तर सहित 308 अभ्यास प्रश्न; ज़्यादातर के साथ व्याख्या या पूरा हल भी है। उत्तर खोलने से पहले हर प्रश्न खुद हल करें।

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1. Q.1

   विद्यार्थियों को 2⁰ = 1 स्वीकार करने में मदद करने का सबसे अर्थपूर्ण उपागम है:

   1. A पैटर्न 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2 में हर चरण पर 2 से भाग देकर देखना कि 2⁰ = 1
   2. B कैलकुलेटर पर 2⁰ दिखाकर विद्यार्थियों से उसका परिणाम सीधे मान लेने को कहना
   3. C बताना कि किसी शून्येतर संख्या पर घात 0 सदा 1 देती है, और फिर ढेर सारे अभ्यास के सवाल देना
   4. D समझाना कि घात 0 का अर्थ है संख्या से गुणा ही नहीं हुआ, इसलिए वह 2 ही रहती है
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: (A) पैटर्न 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2 में हर चरण पर 2 से भाग देकर देखना कि 2⁰ = 1

   पैटर्न में नीचे जाते हुए हर बार 2 से भाग होता है, इसलिए आगे बढ़ाने पर 2⁰ = 2 ÷ 2 = 1; यही 2³ ÷ 2³ = 2⁰ से भी निकलता है, जो 1 है। तब नियम मनमाना तथ्य नहीं, अर्थपूर्ण लगता है।

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2. Q.2

   एक शिक्षक दामों सहित फलों की दुकान का चित्र दिखाता है और बच्चों से ऐसे प्रश्न बनाने को कहता है जिनका उत्तर उस चित्र से दिया जा सके। इस गतिविधि को कहते हैं:

   1. A योगात्मक मूल्यांकन (summative assessment)
   2. B ड्रिल और अभ्यास कार्य (drill and practice)
   3. C समस्या प्रस्तुतीकरण (problem posing)
   4. D निगमनात्मक प्रमाण (deductive proof)
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: (C) समस्या प्रस्तुतीकरण (problem posing)

   समस्या प्रस्तुतीकरण में बच्चे केवल हल नहीं करते, समस्याएँ बनाते हैं। यह उच्च-स्तरीय, सृजनात्मक गतिविधि है जिसे NCF 2005 गणितीय संप्रेषण और समझ विकसित करने के लिए अनुशंसित करता है।

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3. Q.3

   एक बच्चे को पाँच-पाँच बटनों की दो पंक्तियाँ दिखाई जाती हैं। जब एक पंक्ति को फैला दिया जाता है, तो बच्चा कहता है कि फैली हुई पंक्ति में अधिक बटन हैं। पियाजे के अनुसार, बच्चा:

   1. A औपचारिक संक्रियात्मक अवस्था में पहुँच चुका है
   2. B गिनती की अक्षमता से ग्रस्त है
   3. C अभी संख्या-संरक्षण प्राप्त नहीं कर सका है
   4. D एक-से-एक संगति को पूरी तरह समझता है
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: (C) अभी संख्या-संरक्षण प्राप्त नहीं कर सका है

   संख्या-संरक्षण का अर्थ है यह समझना कि व्यवस्था बदलने पर मात्रा वही रहती है। जो बच्चा पंक्ति की लंबाई से निर्णय करता है, उसने अभी संख्या-संरक्षण नहीं पाया है, जो पूर्व-संक्रियात्मक अवस्था की विशेषता है।

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4. Q.4

   निम्नलिखित में से कौन-सा प्राथमिक कक्षाओं में नियमित मानसिक गणित का लाभ नहीं है?

   1. A इससे संख्या बोध और संख्याओं के साथ लचीलापन बढ़ता है
   2. B इससे बच्चों को स्थानीय मान समझने की ज़रूरत नहीं रहती
   3. C इससे बच्चे लिखित उत्तरों का अनुमान लगा पाते हैं और उन्हें जाँच पाते हैं
   4. D इससे बच्चे अलग-अलग रणनीतियाँ साझा करने और उनकी तुलना करने को प्रेरित होते हैं
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: (B) इससे बच्चों को स्थानीय मान समझने की ज़रूरत नहीं रहती

   किसी संख्या को दहाई और इकाई में तोड़ने जैसी मानसिक रणनीतियाँ स्थानीय मान पर निर्भर हैं; वे उसकी जगह नहीं लेतीं, उसे मज़बूत करती हैं। संख्या बोध, अनुमान और रणनीतियों पर चर्चा वास्तविक लाभ हैं।

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5. Q.5

   प्रतिशत का परिचय देने के लिए कक्षा 7 का शिक्षक 10 × 10 ग्रिड के 35 छोटे वर्ग छायांकित करके 35% लिखता है। इससे मुख्यतः विद्यार्थी समझते हैं कि:

   1. A प्रतिशत किसी भी स्थिति में कभी भी 100 से अधिक नहीं हो सकता है
   2. B 35%, 0.035 के समान है
   3. C प्रतिशत का अर्थ है 'प्रति सौ', इसलिए 35% पूरे का 35/100 है
   4. D प्रतिशत का उपयोग केवल परीक्षा के अंकों के लिए होता है, और कहीं नहीं
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: (C) प्रतिशत का अर्थ है 'प्रति सौ', इसलिए 35% पूरे का 35/100 है

   100 वर्गों का ग्रिड पूरे को 100 बराबर भागों के रूप में दिखाता है, इसलिए 35% = 35/100 = 0.35। 100 से अधिक प्रतिशत भी अर्थपूर्ण हैं (कोई मूल्य पुराने मूल्य का 150% हो सकता है), और 0.035 तो 3.5% होगा।

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6. Q.6

   एक शिक्षक बिना नाम बताए एक गलत हल दिखाता है और पूछता है, 'इस विद्यार्थी ने क्या सोचा होगा, और हम इसे कैसे ठीक कर सकते हैं?' यह प्रथा मुख्यतः किसमें मदद करती है?

   1. A कक्षा को उन अंकों के बारे में चेताने में जो परीक्षाओं में लापरवाह गलतियों से कटते हैं
   2. B शिक्षक का समय बचाने में, क्योंकि पूरी कक्षा के लिए एक ही हल सुधारा जाता है
   3. C कक्षा को यह दिखाने में कि केवल पाठ्यपुस्तक की विधि से ही उत्तर मिलता है
   4. D गलतियों को अधिगम का सामान्य हिस्सा बनाने में, जिससे भय घटे और समझ गहरी हो
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: (D) गलतियों को अधिगम का सामान्य हिस्सा बनाने में, जिससे भय घटे और समझ गहरी हो

   किसी का नाम लिए बिना त्रुटि पर चर्चा उसे शर्म के बजाय सीखने का स्रोत मानती है, इसलिए बच्चे गलत होने से कम डरते हैं। त्रुटि क्यों तर्कसंगत लगती है, इसका विश्लेषण सबकी अवधारणात्मक समझ भी गहरी करता है।

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7. Q.7

   यह दिखाने के लिए कि 1/2, 2/4 और 4/8 समतुल्य भिन्न हैं, कौन-सी शिक्षण-अधिगम सामग्री सबसे उपयुक्त है?

   1. A खड़ी छड़ों पर मनकों वाला एक अबेकस
   2. B घड़ी का डायल
   3. C बिंदु-प्रतिरूपों वाले डोमिनो का सेट
   4. D भिन्न पट्टियाँ या कागज़ मोड़ना
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: (D) भिन्न पट्टियाँ या कागज़ मोड़ना

   समान लंबाई की 2, 4 और 8 भागों में बँटी भिन्न पट्टियाँ बच्चों को 1/2, 2/4 और 4/8 को एक रेखा में रखकर दिखाती हैं कि वे समान लंबाई ढकती हैं; कागज़ की पट्टी को बार-बार मोड़ने से भी यही दिखता है।

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8. Q.8

   खेल के मैदान में एक बच्चा उस रस्सी का खुला सिरा पकड़ता है जिसका दूसरा सिरा एक खूँटी से बँधा है, और रस्सी को तना रखते हुए खूँटी के चारों ओर चलता है, जबकि बाकी बच्चे चॉक से रास्ता अंकित करते हैं। यह मुख्यतः बच्चों को यह समझने में मदद करता है कि:

   1. A वृत्त की परिधि हमेशा उसकी त्रिज्या की ठीक तीन गुना होती है
   2. B वृत्त में सममिति की ठीक चार रेखाएँ होती हैं
   3. C रस्सी जितनी लंबी होगी, ज़मीन पर बना वृत्त उतना ही छोटा होगा
   4. D वृत्त का हर बिंदु उसके केंद्र से समान दूरी पर होता है
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: (D) वृत्त का हर बिंदु उसके केंद्र से समान दूरी पर होता है

   रस्सी खूँटी से दूरी स्थिर रखती है, इसलिए बना रास्ता एक वृत्त है जिसका केंद्र खूँटी और त्रिज्या रस्सी है। बाकी कथन गलत हैं: परिधि त्रिज्या की लगभग 2 × 3.14 गुना होती है, वृत्त में अनगिनत सममिति रेखाएँ होती हैं, और लंबी रस्सी से बड़ा वृत्त बनता है।

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9. Q.9

   कक्षा 6 का एक विद्यार्थी कहता है कि -3, -1 से बड़ा है क्योंकि 3, 1 से बड़ा है। इसे सुधारने के लिए सबसे उपयुक्त शिक्षण-अधिगम सामग्री है:

   1. A सात ज्यामितीय टुकड़ों से आकृतियाँ बनाने वाला टैनग्राम सेट
   2. B रबर बैंड से आकृतियाँ बनाने वाला जियोबोर्ड
   3. C बीच में शून्य वाली संख्या रेखा, या थर्मामीटर
   4. D आधा, तिहाई, चौथाई और पाँचवाँ भाग दिखाने वाली भिन्न पट्टियाँ
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: (C) बीच में शून्य वाली संख्या रेखा, या थर्मामीटर

   संख्या रेखा दिखाती है कि बाईं ओर की संख्याएँ छोटी होती हैं, इसलिए -3, -1 के बाईं ओर है और छोटा है। थर्मामीटर इसी विचार के लिए वास्तविक जीवन का संदर्भ देता है।

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10. Q.10

    कक्षा 4 में '12 कंचों का एक-चौथाई' पढ़ाने के लिए कौन-सी गतिविधि सबसे उपयुक्त है?

    1. A बच्चों से हर कंचे को चार बराबर टुकड़ों में कटा हुआ कल्पना करवाना
    2. B बोर्ड पर बने वृत्त का एक-चौथाई छायांकित करके उसके पास 12 लिखना
    3. C 12 कंचों को 4 बराबर समूहों में बाँटना और एक समूह के कंचे गिनना
    4. D रटने के लिए नियम लिखवाना: 'हर से भाग दो, अंश से गुणा करो'
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) 12 कंचों को 4 बराबर समूहों में बाँटना और एक समूह के कंचे गिनना

    किसी समूह की भिन्न बराबर समूह बनाकर निकाली जाती है: 12 कंचों के 4 बराबर समूहों में से एक समूह 3 कंचे है। जो बच्चे भिन्न को केवल एक आकृति का भाग समझते हैं, वे गलती से सोच सकते हैं कि एक-चौथाई का अर्थ हर वस्तु को काटना है।

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11. Q.11

    कक्षा 8 का एक शिक्षक कहता है: 'कोई संख्या सोचो, उसे दोगुना करो, 10 जोड़ो, परिणाम का आधा करो, फिर वह संख्या घटाओ जिससे शुरू किया था। तुम्हारा उत्तर 5 है।' विद्यार्थियों से यह समझाने को कहना कि यह हमेशा क्यों होता है, मुख्यतः उनकी किसमें मदद करता है?

    1. A यह देखने में कि अक्षर n से हर संख्या के लिए सिद्ध होता है: (2n + 10) ÷ 2 − n = 5
    2. B दोगुना और आधा करने का तेज़ अभ्यास करने में, जो इस खेल का असली और मुख्य उद्देश्य है
    3. C जब तक पूरा विश्वास न हो जाए, कई अलग-अलग संख्याएँ लेकर तरकीब की जाँच करते रहने में
    4. D यह रटने में कि ऐसी हर पहेली का उत्तर हमेशा 5 ही होता है, चाहे संख्या कोई भी हो
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) यह देखने में कि अक्षर n से हर संख्या के लिए सिद्ध होता है: (2n + 10) ÷ 2 − n = 5

    कई संख्याएँ आज़माने से परिणाम का केवल संकेत मिलता है; चरणों को n से लिखने पर n कट जाता है, इसलिए हर संख्या के लिए उत्तर 5 आता है। यह व्यापकीकृत अंकगणित के रूप में बीजगणित की शक्ति दिखाता है।

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12. Q.12

    'गणित एक भाषा है' इस कथन का कक्षा के लिए निम्नलिखित में से क्या निहितार्थ है?

    1. A बच्चों को प्रतीकों और पदों का सटीक अर्थ सीखना चाहिए, और उन्हें गणित पर बोलने और लिखने के अवसर मिलने चाहिए
    2. B गणित केवल मातृभाषा के माध्यम से पढ़ाया जाना चाहिए, क्योंकि बच्चे अपनी घर की भाषा में सबसे अच्छा सोचते हैं
    3. C गणितीय प्रतीकों की व्याख्या हर बच्चा अपनी मर्ज़ी से कर सकता है
    4. D शुरुआती कक्षाओं में शब्द-समस्याओं से बचना चाहिए क्योंकि वे पढ़ने की कठिनाइयों को गणित में मिला देती हैं
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) बच्चों को प्रतीकों और पदों का सटीक अर्थ सीखना चाहिए, और उन्हें गणित पर बोलने और लिखने के अवसर मिलने चाहिए

    गणित की अपनी शब्दावली, प्रतीक और व्याकरण हैं, इसलिए बच्चों को उनका सटीक अर्थ सीखना और गणितीय संप्रेषण का अभ्यास करना चाहिए। शब्द-समस्याएँ इसका महत्वपूर्ण हिस्सा हैं, बचने की चीज़ नहीं।

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13. Q.13

    निम्नलिखित में से किस स्थिति में अनुमान पर्याप्त नहीं है और सटीक गणना ज़रूरी है?

    1. A यह तय करना कि किराने की सूची के लिए ₹500 पर्याप्त हैं या नहीं
    2. B मोटे तौर पर आँकना कि 12 किमी साइकिल चलाने में कितना समय लगेगा
    3. C दुकान के बिल पर चुकाई जाने वाली राशि लिखना
    4. D जाँचना कि कैलकुलेटर का उत्तर सही परिमाण का है या नहीं
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) दुकान के बिल पर चुकाई जाने वाली राशि लिखना

    बिल में वास्तव में देय राशि दर्ज होती है, इसलिए वह सटीक होनी चाहिए। बाकी स्थितियों में निर्णय, योजना या जाँच के लिए अनुमान पर्याप्त है।

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14. Q.14

    एक विज्ञापन में बिक्री का दंड आलेख है: ब्रांड A 100, ब्रांड B 110। ऊर्ध्वाधर अक्ष 90 से शुरू होता है, इसलिए B का दंड A से दोगुना ऊँचा दिखता है। विद्यार्थियों से इस आलेख पर चर्चा करवाना मुख्यतः क्या विकसित करता है?

    1. A बराबर चौड़ाई और बराबर अंतराल वाले दंड बनाने का कौशल
    2. B आगे के प्रश्नों के लिए दोनों ब्रांडों की बिक्री के आँकड़े याद रखना
    3. C आलेखों का आलोचनात्मक पठन, क्योंकि 10% के अंतर को 100% के अंतर जैसा दिखाया गया है
    4. D अंतर साफ़-साफ़ दिखाने के लिए ऊर्ध्वाधर अक्ष को सदा 90 जैसे किसी ऊँचे मान से शुरू करने की आदत
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) आलेखों का आलोचनात्मक पठन, क्योंकि 10% के अंतर को 100% के अंतर जैसा दिखाया गया है

    90 से मापने पर दंड 10 और 20 इकाई ऊँचे हैं, इसलिए B, A से दोगुना दिखता है जबकि वह केवल 10% अधिक है। आँकड़ों के निरूपण की व्याख्या करना और उन पर प्रश्न उठाना आँकड़ों के प्रबंधन का मुख्य अंग है।

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15. Q.15

    तराजू के एक पलड़े पर शिक्षक कुछ कंचों वाली एक बंद थैली और 3 खुले कंचे रखता है; दूसरे पलड़े पर 7 खुले कंचे। पलड़े बराबर रहते हैं। फिर बच्चे हर पलड़े से 3 कंचे हटाते हैं। यह गतिविधि सबसे अच्छी तरह यह समझ बनाती है कि:

    1. A समीकरण में अक्षर हमेशा अपने पास लिखी हुई संख्या 3 को ही दर्शाता है
    2. B भारी वस्तुएँ हमेशा हल्की वस्तुओं से आकार में बड़ी होती हैं
    3. C दोनों पक्षों में एक जैसा करने पर समीकरण संतुलित रहता है: x + 3 = 7, अतः x = 4
    4. D घटाने से कोई भी संख्या हमेशा छोटी होती है, अतः बंद थैली कंचों से हल्की ही होगी
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) दोनों पक्षों में एक जैसा करने पर समीकरण संतुलित रहता है: x + 3 = 7, अतः x = 4

    तराजू समीकरण x + 3 = 7 का मॉडल है: दोनों पलड़ों से समान मात्रा हटाने पर वे बराबर रहते हैं और थैली 4 कंचों के बराबर बचती है। यह 'पक्ष बदलो, चिह्न बदलो' जैसे रटे नियम के बजाय 'दोनों पक्षों में एक जैसा करो' को अर्थ देता है।

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16. Q.16

    भिन्नों को प्रारंभिक प्राथमिक कक्षाओं में वास्तविक वस्तुओं के आधे और चौथाई के रूप में शुरू किया जाता है, बाद की प्राथमिक कक्षाओं में तुल्य भिन्नों के साथ दोहराया जाता है, और उच्च प्राथमिक में संक्रियाओं के साथ फिर लिया जाता है। यह व्यवस्था ब्रूनर के किस विचार को दर्शाती है?

    1. A सर्पिलाकार पाठ्यचर्या (spiral curriculum)
    2. B अभिक्रमित अधिगम क्रम
    3. C निपुणता अधिगम (mastery learning) मॉडल
    4. D एक बार पढ़ाकर आगे बढ़ने वाला रैखिक पाठ्यक्रम
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) सर्पिलाकार पाठ्यचर्या (spiral curriculum)

    ब्रूनर ने सर्पिलाकार पाठ्यचर्या का प्रस्ताव दिया जिसमें मुख्य विचारों को बढ़ती गहराई और अमूर्तता के साथ बार-बार लिया जाता है। निपुणता अधिगम (ब्लूम) और अभिक्रमित अधिगम (स्किनर) अलग मॉडल हैं।

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17. Q.17

    5 सेमी, 6 सेमी, 7 सेमी भुजाओं वाला और 3 सेमी, 4 सेमी, 8 सेमी भुजाओं वाला त्रिभुज बनाने को कहने पर विद्यार्थी पाते हैं कि दूसरा त्रिभुज नहीं बन सकता। शिक्षक को इसका उपयोग करना चाहिए:

    1. A यह खोजने के लिए कि तीन लंबाइयों से त्रिभुज कब बनता है: किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी से अधिक
    2. B उन्हें यह बताने के लिए कि दूसरे मामले में उन्होंने परकार का गलत उपयोग किया होगा और फिर से ध्यान से बनाएँ
    3. C दूसरे मामले को छोड़ देने के लिए, क्योंकि वह पाठ्यपुस्तक के अभ्यास में नहीं है और परीक्षा में नहीं आएगा
    4. D यह निष्कर्ष निकालने के लिए कि किसी त्रिभुज की भुजा 8 सेमी नहीं हो सकती
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) यह खोजने के लिए कि तीन लंबाइयों से त्रिभुज कब बनता है: किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी से अधिक

    3 + 4 = 7, जो 8 से कम है, इसलिए चाप कभी नहीं मिलते। इस 'असफलता' को खोज का आरंभ बनाने से विद्यार्थी त्रिभुज असमिका स्वयं खोजते हैं, उन्हें बताना नहीं पड़ता।

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18. Q.18

    एक शिक्षक नियमित रूप से कहता है, 'लड़के स्वाभाविक रूप से गणित में बेहतर होते हैं, लड़कियों को भाषाओं पर ध्यान देना चाहिए।' इस बारे में कौन-सा कथन सही है?

    1. A यह लड़कों और लड़कियों के मस्तिष्क के अंतर के बारे में वैज्ञानिक रूप से स्थापित तथ्य है, इसलिए इसे कहना स्वीकार्य है
    2. B यह हानिरहित है क्योंकि छोटे बच्चे ऐसी टिप्पणियों पर शायद ही ध्यान देते हैं या विषय चुनते समय उन्हें गंभीरता से लेते हैं
    3. C यह लड़कियों को शिक्षक को गलत साबित करने के लिए और मेहनत करने को प्रेरित करता है, इसलिए कुछ लाभ ही करता है
    4. D यह एक लैंगिक रूढ़ि है जो गणित में लड़कियों का आत्मविश्वास और भागीदारी घटाती है, और इसका सक्रिय प्रतिकार होना चाहिए
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) यह एक लैंगिक रूढ़ि है जो गणित में लड़कियों का आत्मविश्वास और भागीदारी घटाती है, और इसका सक्रिय प्रतिकार होना चाहिए

    गणित के प्रदर्शन में अंतर जन्मजात नहीं, अपेक्षाओं से आकार लेता है। NCF 2005 शिक्षकों से ऐसी रूढ़ियों को चुनौती देने और गणित में लड़कियों की समान भागीदारी सुनिश्चित करने को कहता है।

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19. Q.19

    माध्य के बारे में इन कथनों पर विचार कीजिए:

    1. आँकड़ों के किसी समूह का माध्य सदा आँकड़ों का ही कोई एक मान होता है।

    2. पूर्ण संख्याओं वाले आँकड़ों का माध्य भिन्न भी हो सकता है; जैसे 2, 3 और 6 का माध्य 3 2/3 है।

    इनमें से कौन-सा/से सही है/हैं?

    1. A केवल 2
    2. B केवल 1
    3. C 1 और 2 दोनों
    4. D न तो 1, न ही 2
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) केवल 2

    माध्य कुल का बराबर हिस्सा है, इसलिए उसका आँकड़ों में से कोई मान होना या पूर्ण संख्या होना आवश्यक नहीं: (2 + 3 + 6) ÷ 3 = 11 ÷ 3 = 3 2/3। कथन 1 एक आम भ्रांति है।

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20. Q.20

    जेरोम ब्रूनर ने ज्ञान के निरूपण के तीन रूप बताए। विकास के सही क्रम में वे हैं:

    1. A प्रतीकात्मक, चित्रात्मक, क्रियात्मक
    2. B क्रियात्मक, चित्रात्मक, प्रतीकात्मक
    3. C चित्रात्मक, क्रियात्मक, प्रतीकात्मक
    4. D क्रियात्मक, प्रतीकात्मक, चित्रात्मक
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) क्रियात्मक, चित्रात्मक, प्रतीकात्मक

    ब्रूनर के रूप हैं क्रियात्मक (enactive, वस्तुओं के साथ क्रिया), चित्रात्मक (iconic, बिंब और चित्र) और प्रतीकात्मक (symbolic, भाषा और गणितीय प्रतीक), विकास के इसी क्रम में।

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21. Q.21

    टैनग्राम, सात टुकड़ों में कटा एक वर्ग जिसे कई आकृतियों में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, मुख्यतः किसके विकास में उपयोगी है?

    1. A समयबद्ध खेलों में जोड़-घटाव के तथ्यों को जल्दी याद करके 20 तक के संख्या तथ्य
    2. B आँकड़ों के प्रबंधन के कौशल, जैसे आँकड़े एकत्र करना, मिलान चिह्न लगाना, चित्रालेख और सरल दंड आलेख बनाना
    3. C स्थानिक समझ, दृश्यीकरण और यह विचार कि टुकड़ों को पुनर्व्यवस्थित करने पर क्षेत्रफल वही रहता है
    4. D दशमलव और सौवें भाग तक उनके स्थानीय मान की समझ
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) स्थानिक समझ, दृश्यीकरण और यह विचार कि टुकड़ों को पुनर्व्यवस्थित करने पर क्षेत्रफल वही रहता है

    टैनग्राम के टुकड़ों को पुनर्व्यवस्थित करने से स्थानिक बोध विकसित होता है और दिखता है कि वही टुकड़े (वही कुल क्षेत्रफल) कई अलग आकृतियाँ बना सकते हैं, जो क्षेत्रफल-संरक्षण के विचार को पुष्ट करता है।

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22. Q.22

    NCF 2005 के अनुसार, बच्चे की विचार-प्रक्रियाओं के 'गणितीकरण' (mathematisation) का अर्थ है:

    1. A बच्चों को कम उम्र में ही अधिक सूत्र और मानक प्रक्रियाएँ रटवाना ताकि वे पाठ्यपुस्तक और परीक्षा के प्रश्न तेज़ी से हल कर सकें
    2. B हर पाठ को, भाषा और EVS में भी, संख्यात्मक गणना और लिखित सवालों में बदल देना
    3. C गणित को केवल विज्ञान में उसके अनुप्रयोगों के माध्यम से पढ़ाना, ताकि हर विषय-वस्तु का व्यावहारिक उपयोग दिखे
    4. D बच्चे की स्पष्ट और तार्किक रूप से सोचने, अमूर्तता सँभालने और मान्यताओं को तार्किक निष्कर्ष तक ले जाने की क्षमता विकसित करना
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) बच्चे की स्पष्ट और तार्किक रूप से सोचने, अमूर्तता सँभालने और मान्यताओं को तार्किक निष्कर्ष तक ले जाने की क्षमता विकसित करना

    NCF 2005 गणितीकरण को बच्चे के आंतरिक संसाधनों के विकास के रूप में वर्णित करता है, ताकि वह गणितीय ढंग से सोचे और तर्क करे, अमूर्तता सँभाले और मान्यताओं को तार्किक निष्कर्ष तक ले जाए।

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23. Q.23

    गणित की चिंता (mathematics anxiety) के बारे में निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:

    1. शरारत की सज़ा के रूप में अतिरिक्त सवाल देना बच्चों के मन में गणित को भय से जोड़ सकता है।

    2. गणित की चिंता केवल कम अंक पाने वाले बच्चों को प्रभावित करती है।

    कौन-सा/से कथन सही है/हैं?

    1. A केवल 1
    2. B केवल 2
    3. C 1 और 2 दोनों
    4. D न तो 1 और न ही 2
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) केवल 1

    गणित को सज़ा की तरह उपयोग करने से विषय के साथ नकारात्मक भावनाएँ जुड़ जाती हैं। चिंता केवल कम अंक वालों तक सीमित नहीं है: गणित को अच्छी तरह समझने वाले बच्चे भी दबाव में घबरा सकते हैं, इसलिए इसे केवल कम योग्यता नहीं मानना चाहिए।

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24. Q.24

    कक्षा 3 का एक बच्चा 'तीन सौ पाँच' को 3005 और 'दो सौ चालीस' को 20040 लिखता है। यह त्रुटि दर्शाती है कि बच्चा:

    1. A स्थानीय मान नहीं समझा है और संख्याओं को वैसे ही लिख रहा है जैसे वे बोली जाती हैं
    2. B संख्याओं के नाम नहीं जानता, इसलिए शब्दों को सही ढंग से पढ़ नहीं पाता
    3. C लिखते समय लापरवाह है और उसे गति तथा साफ़-सुथरी नकल के अधिक अभ्यास की ज़रूरत है
    4. D संख्याओं के विस्तारित रूप में निपुण है और उसका सही उपयोग कर रहा है
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) स्थानीय मान नहीं समझा है और संख्याओं को वैसे ही लिख रहा है जैसे वे बोली जाती हैं

    बच्चा हर बोले गए भाग को अलग-अलग लिख रहा है (300 फिर 5), जो दर्शाता है कि अंकों का स्थानगत अर्थ समझा नहीं गया। यहाँ डीन्स ब्लॉक या अबेकस जैसी स्थानीय मान सामग्री चाहिए, गति की ड्रिल नहीं।

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25. Q.25

    यह दिखाने के लिए कि ऋणात्मक पूर्णांक जोड़ने का अर्थ विपरीत दिशा में चलना है, जैसे 5 + (-3) = 2, कौन-सी शिक्षण-अधिगम सामग्री सबसे उपयुक्त है?

    1. A संख्या रेखा
    2. B टैनग्राम
    3. C भिन्न पट्टियाँ
    4. D जियोबोर्ड
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) संख्या रेखा

    संख्या रेखा पर धनात्मक संख्या जोड़ना दाईं ओर और ऋणात्मक संख्या जोड़ना बाईं ओर चलना है, जिससे पूर्णांक संक्रियाएँ दिखाई देती हैं। बाकी सामग्री आकृतियों या भिन्नों से संबंधित हैं।

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26. Q.26

    बोर्ड पर खींची दो रेखाएँ देखकर कक्षा 7 की एक विद्यार्थी कहती है, 'ये समांतर हैं क्योंकि समांतर दिखती हैं।' शिक्षक के लिए सबसे उपयुक्त यह पूछना है:

    1. A 'क्या तुम्हें पक्का पता है? उन्हें फिर से ध्यान से देखो और बताओ कि क्या अब भी ऐसा लगता है।'
    2. B 'कौन-कौन उससे सहमत है? हाथ उठाओ।'
    3. C 'क्या तुम समांतर रेखाओं की परिभाषा अपनी कॉपी में उतारकर कल तक उसे रट सकती हो?'
    4. D 'हम कैसे जाँचें? जैसे, दो स्थानों पर उनके बीच की दूरी या तिर्यक रेखा से बने कोण मापकर'
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) 'हम कैसे जाँचें? जैसे, दो स्थानों पर उनके बीच की दूरी या तिर्यक रेखा से बने कोण मापकर'

    यह प्रश्न विद्यार्थी को रूप देखकर निर्णय करने से गुण की जाँच करने की ओर ले जाता है: समांतर रेखाओं के बीच की दूरी हर जगह समान रहती है, और तिर्यक रेखा उनसे बराबर संगत कोण बनाती है। फिर से देखना, मतदान या परिभाषा उतारना निर्णय को दृश्य या रटंत ही रहने देता है।

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27. Q.27

    गणित में प्रमाण सिखाने की संश्लेषण विधि की मुख्य कमी यह है कि:

    1. A यह कक्षा में बहुत अधिक समय लेती है, क्योंकि विद्यार्थियों को प्रमाण का हर एक कदम स्वयं ही खोजकर निकालना पड़ता है
    2. B यह प्रमाण को तैयार उत्पाद के रूप में रखती है, इसलिए विद्यार्थी शायद न समझें कि हर कदम क्यों उठाया गया
    3. C इसे ज्यामिति में उपयोग नहीं किया जा सकता और यह केवल बीजगणितीय सर्वसमिकाओं के लिए है
    4. D इसके लिए हर प्रमाण में महँगे प्रयोगशाला उपकरण और मॉडल चाहिए
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) यह प्रमाण को तैयार उत्पाद के रूप में रखती है, इसलिए विद्यार्थी शायद न समझें कि हर कदम क्यों उठाया गया

    संश्लेषण विधि संक्षिप्त और तार्किक है पर ज्ञात से अज्ञात की ओर यह दिखाए बिना चलती है कि कदम कैसे खोजे गए, इसलिए इसे विश्लेषण विधि के साथ जोड़ना चाहिए, जो 'क्यों' देती है।

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28. Q.28

    एक विद्यार्थी मानता है कि समान परिमाप वाले दो आयतों का क्षेत्रफल भी समान होना चाहिए। इसे सुधारने के लिए सबसे प्रभावी गतिविधि है:

    1. A आयत के क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्र रटना और तब तक अभ्यास करना जब तक वे तुरंत याद न आने लगें
    2. B परिमाप पर बीस संख्यात्मक प्रश्न हल करना, और हर एक के बाद क्षेत्रफल का एक मिलता-जुलता प्रश्न
    3. C शिक्षक को श्यामपट्ट पर क्षेत्रफल का सूत्र निकालते देखना और व्युत्पत्ति के हर चरण को अपनी कॉपी में उतारना
    4. D जियोबोर्ड या वर्गांकित कागज़ पर निश्चित लंबाई के एक धागे के लूप से अलग-अलग आयत बनाना और अंदर के वर्ग गिनना
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) जियोबोर्ड या वर्गांकित कागज़ पर निश्चित लंबाई के एक धागे के लूप से अलग-अलग आयत बनाना और अंदर के वर्ग गिनना

    लूप से परिमाप निश्चित रखकर वर्ग गिनकर क्षेत्रफलों की तुलना करने से विद्यार्थी स्वयं खोजता है कि समान परिमाप का अर्थ समान क्षेत्रफल नहीं है। सूत्र रटना अवधारणात्मक भ्रम को दूर नहीं करता।

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29. Q.29

    जॉर्ज पोल्या के समस्या समाधान के चार चरण सही क्रम में हैं:

    1. A योजना बनाओ, समस्या समझो, पीछे मुड़कर देखो, योजना लागू करो
    2. B समस्या समझो, योजना लागू करो, योजना बनाओ, पीछे मुड़कर देखो
    3. C समस्या समझो, योजना बनाओ, योजना लागू करो, पीछे मुड़कर देखो
    4. D पीछे मुड़कर देखो, समस्या समझो, योजना बनाओ, योजना लागू करो
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) समस्या समझो, योजना बनाओ, योजना लागू करो, पीछे मुड़कर देखो

    'How to Solve It' (1945) में पोल्या ने यह क्रम दिया: समस्या को समझो, योजना बनाओ, योजना लागू करो, और पीछे मुड़कर देखो (जाँच और चिंतन)।

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30. Q.30

    कक्षा 4 की एक शिक्षिका EVS के पाठ में बच्चों से एक सप्ताह का दैनिक तापमान दर्ज करवाती है और फिर गणित के कालांश में उसका दंड आलेख (bar graph) बनवाती है। यह किसका उदाहरण है?

    1. A दंड आलेख बनाने के कौशल का अभ्यास और ड्रिल
    2. B गणित का अन्य विषयों से सहसंबंध
    3. C आँकड़ा प्रबंधन इकाई का योगात्मक मूल्यांकन
    4. D निगमनात्मक शिक्षण, सामान्य नियम से उदाहरण की ओर
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) गणित का अन्य विषयों से सहसंबंध

    गणित में आँकड़ों के प्रबंधन को EVS में मौसम के अवलोकन से जोड़ना गणित का अन्य पाठ्यचर्या क्षेत्रों से सहसंबंध है, जिससे गणित सार्थक और जुड़ा हुआ बनता है।

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31. Q.31

    कक्षा 2 के एक पाठ में बच्चे दस-दस डंडियों के बंडलों और खुली डंडियों से स्वतंत्र रूप से खेलते हैं, पर शिक्षक कभी उनसे यह समझाने या लिखने को नहीं कहता कि उन्होंने क्या किया। दहाई और इकाई की उनकी समझ नहीं सुधरती। इसका सबसे संभावित कारण है कि:

    1. A डंडियों के बंडल स्थानीय मान के लिए उपयुक्त सामग्री नहीं हैं, केवल अबेकस का प्रयोग होना चाहिए
    2. B कक्षा 2 के बच्चे स्थानीय मान सीखने के लिए बहुत छोटे हैं और उन्हें कक्षा 4 तक रुकना चाहिए
    3. C मूर्त सामग्री तभी सहायक होती है जब बच्चे अपनी क्रियाओं पर विचार करें और उन्हें विचार व प्रतीकों से जोड़ें
    4. D मूर्त सामग्री का प्रयोग केवल शिक्षक द्वारा प्रदर्शन के लिए होना चाहिए, बच्चों को उसे स्वयं कभी नहीं छूना चाहिए
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) मूर्त सामग्री तभी सहायक होती है जब बच्चे अपनी क्रियाओं पर विचार करें और उन्हें विचार व प्रतीकों से जोड़ें

    समझ केवल सामग्री छूने से नहीं, बल्कि प्रश्नों, बातचीत और लेखन की सहायता से यह सोचने से बनती है कि सामग्री क्या दिखाती है। डंडियों के बंडल स्थानीय मान की मानक सामग्री हैं; कमी चिंतन की है।

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32. Q.32

    एक विद्यार्थी 4.2 और 1.35 को एक के नीचे एक लिखकर जोड़ती है और 1.77 पाती है। सबसे संभावित कारण क्या है?

    1. A वह जोड़ का तथ्य 2 + 5 नहीं जानती और अंकों का अंदाज़ा लगाती है
    2. B वह दोनों दशमलवों को जोड़ने के बजाय गुणा करती है
    3. C वह दशमलव बिंदुओं के बजाय अंतिम अंकों को सीध में रखती है
    4. D उसने सही जोड़ा पर बोर्ड से प्रश्न गलत उतार लिया
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) वह दशमलव बिंदुओं के बजाय अंतिम अंकों को सीध में रखती है

    दाईं ओर से 42 को 135 के नीचे रखने से 2 दशांश को 2 शतांश मान लिया जाता है (सही योग 5.55 है)। 4.2 को 4.20 लिखना और इकाई, दशांश, शतांश स्तंभों वाली स्थानीय मान तालिका का उपयोग समान स्थानीय मान के अंकों को सीध में रखने में मदद करता है।

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33. Q.33

    कक्षा 7 का एक विद्यार्थी 3a + 2b को 5ab में सरल करता है और समझाता है, '3 सेब और 2 केले मिलकर 5 फल होते हैं'। यहाँ भ्रांति यह है कि विद्यार्थी:

    1. A पदों को मिलाने के लिए आवश्यक गुणा के पहाड़े नहीं जानता
    2. B अक्षरों को संख्याओं (चरों) के बजाय वस्तुओं के लेबल मानता है
    3. C दोनों असमान पदों को मिलाते समय जोड़ को घटाव से भ्रमित कर रहा है
    4. D असमान पदों को मिलाने के लिए वितरण गुण का सही-सही उपयोग कर रहा है
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) अक्षरों को संख्याओं (चरों) के बजाय वस्तुओं के लेबल मानता है

    'फ्रूट सलाद' उपागम अक्षरों को वस्तुएँ मानता है। बीजगणित में अक्षर संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, और 3a व 2b असमान पद हैं जिन्हें मिलाया नहीं जा सकता। शिक्षक को चरों पर सामान्यीकृत संख्या के रूप में ज़ोर देना चाहिए।

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34. Q.34

    कक्षा 7 में त्रिभुज के कोण-योग गुण को पढ़ाने के लिए सामान्यतः कौन-सा क्रम अनुशंसित है?

    1. A विद्यार्थी कई त्रिभुजों की खोजबीन से नियम निकालें, फिर तार्किक औचित्य दें और उसे लागू करें
    2. B शिक्षक नियम बताए और विद्यार्थी फिर अभ्यास के लिए उसे पाठ्यपुस्तक के अनेक प्रश्नों पर लागू करें
    3. C विद्यार्थी केवल त्रिभुज मापें; विद्यालय के इस स्तर पर किसी औचित्य की ज़रूरत नहीं
    4. D विद्यार्थी पहले प्रमाण याद करें और फिर सीखी बात की पुष्टि के लिए त्रिभुज मापें
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) विद्यार्थी कई त्रिभुजों की खोजबीन से नियम निकालें, फिर तार्किक औचित्य दें और उसे लागू करें

    आगमन चरण में विद्यार्थी उदाहरणों से नियम खोजते हैं और निगमन चरण में स्थापित करते हैं कि वह क्यों सत्य है तथा उसे लागू करते हैं; दोनों का संयोजन (आगमन-निगमन उपागम) सामान्यतः श्रेष्ठ माना जाता है। केवल एक से समझ या निश्चितता अधूरी रहती है।

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35. Q.35

    एक विद्यार्थी 52 - 27 = 35 और 73 - 48 = 35 हल करता है। इन त्रुटियों का सबसे संभावित कारण है कि विद्यार्थी:

    1. A घटाव के मूल तथ्य भूल गया है और हर स्तंभ में अंतर का अनुमान लगा रहा है
    2. B हर स्तंभ में बड़े अंक से छोटा अंक घटाता है और पुनर्समूहन (उधार लेना) नहीं समझता
    3. C ऋण चिह्न को गलत पढ़ने के कारण घटाने के बजाय अंकों को जोड़ रहा है
    4. D दो अंकों की संख्याएँ लिखना नहीं जानता, इसलिए उत्तर में दहाई और इकाई के अंक उलट देता है
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) हर स्तंभ में बड़े अंक से छोटा अंक घटाता है और पुनर्समूहन (उधार लेना) नहीं समझता

    दोनों में बच्चा दहाई का पुनर्समूहन करने के बजाय 7 - 2 और 8 - 3 करता है। यह व्यवस्थित त्रुटि दर्शाती है कि उधार लेने की प्रक्रिया अवधारणात्मक रूप से समझी नहीं गई।

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36. Q.36

    दो रंग की गोटियों (लाल = −1, पीली = +1; एक लाल-पीली जोड़ी = 0) से शिक्षक 2 − (−3) का मॉडल बनाती है। पहले वह 2 पीली गोटियाँ रखती है। उसे आगे क्या करना चाहिए?

    1. A 3 शून्य-जोड़ियाँ जोड़ना, फिर 3 लाल गोटियाँ हटाना, जिससे 5 पीली गोटियाँ बचती हैं
    2. B 3 लाल गोटियाँ जोड़ना, जिससे 2 पीली और 3 लाल बचती हैं, और इस तरह उत्तर −1 आ जाता है
    3. C पहले 2 पीली गोटियाँ हटाना, और फिर उनकी जगह 3 लाल गोटियाँ रखना
    4. D यहीं रुक जाना, क्योंकि पीली गोटियों के समूह में से 3 लाल गोटियाँ नहीं हटाई जा सकतीं
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) 3 शून्य-जोड़ियाँ जोड़ना, फिर 3 लाल गोटियाँ हटाना, जिससे 5 पीली गोटियाँ बचती हैं

    शून्य-जोड़ियाँ जोड़ने से मान नहीं बदलता (अब भी 2), पर हटाने के लिए लाल गोटियाँ मिल जाती हैं; 3 लाल हटाने पर +5 बचता है, अतः 2 − (−3) = 5 = 2 + 3। 3 लाल जोड़ना 2 + (−3) का मॉडल होगा, घटाव का नहीं।

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37. Q.37

    अनुमान लगाने (estimation) के बारे में इन कथनों पर विचार कीजिए:

    1. अनुमान एक तर्कसंगत सन्निकटन है, अंधाधुंध अंदाज़ा नहीं।

    2. अनुमान तभी सिखाना चाहिए जब बच्चे बड़ी संख्याओं की सटीक गणना में दक्ष हो जाएँ।

    3. अनुमान से बच्चे परख पाते हैं कि कोई उत्तर तर्कसंगत है या नहीं।

    कौन-से कथन सही हैं?

    1. A केवल 1 और 2
    2. B केवल 2 और 3
    3. C 1, 2 और 3
    4. D केवल 1 और 3
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) केवल 1 और 3

    अनुमान में पूर्णांकन और संदर्भ-बिंदुओं जैसे संख्या बोध से एक समझदार सन्निकट मान निकाला जाता है, और यह उत्तरों की जाँच का साधन है। NCF 2005 प्राथमिक स्तर से ही समस्या समाधान में अनुमान और सन्निकटन की बात करता है, सटीक गणना में दक्षता के बाद नहीं।

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38. Q.38

    कक्षा 4 का शिक्षक बच्चों से अनुमान लगाने को कहता है कि कक्षा पार करने में उनके कितने कदम लगेंगे, अनुमान लिखने को कहता है, और फिर चलकर गिनने को कहता है। इसका मुख्य उद्देश्य है:

    1. A यह पता करना कि कक्षा में सबसे अच्छा अंदाज़ा कौन लगाता है और दूसरों को प्रेरित करने के लिए उसे पुरस्कार देना
    2. B कदमों की सहायता से मीटर और सेंटीमीटर के बीच रूपांतरण सिखाना
    3. C कालांश के अंत में बचा समय सुखद ढंग से बिताना
    4. D अनुमान की वास्तविक परिणाम से तुलना करके और उसे सुधारकर माप के अनुमान का कौशल विकसित करना
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) अनुमान की वास्तविक परिणाम से तुलना करके और उसे सुधारकर माप के अनुमान का कौशल विकसित करना

    अनुमान लगाना, जाँचना और सुधारना माप का ऐसा बोध बनाता है जिसका बच्चे रोज़मर्रा में प्रयोग करते हैं। लक्ष्य बेहतर निर्णय-क्षमता है, अंदाज़े का खेल जीतना नहीं।

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39. Q.39

    प्रत्येक समस्या का मिलान उसके लिए सबसे उपयुक्त रणनीति से कीजिए।

    P. मैं एक संख्या सोचता हूँ, उसे 3 से गुणा करके 4 घटाता हूँ तो 20 मिलता है। संख्या क्या है?

    Q. 50 मीटर लंबी सड़क पर एक सिरे से दूसरे सिरे तक हर 5 मीटर पर पेड़ हैं। कितने पेड़ हैं?

    R. मुर्गियों और बकरियों के कुल 10 सिर और 28 पैर हैं। बकरियाँ कितनी हैं?

    i. चित्र बनाना ii. पीछे की ओर हल करना iii. अनुमान लगाकर जाँचना और सुधारना

    1. A P-ii, Q-i, R-iii
    2. B P-i, Q-ii, R-iii
    3. C P-iii, Q-i, R-ii
    4. D P-ii, Q-iii, R-i
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) P-ii, Q-i, R-iii

    चरणों को उलटना (20 + 4 = 24, 24 ÷ 3 = 8) पीछे की ओर हल करना है; सड़क का चित्र दिखाता है कि 10 नहीं, 11 पेड़ चाहिए; और 10 पशुओं का कोई बँटवारा मानकर पैरों की गिनती से उसे सुधारने पर 6 मुर्गियाँ और 4 बकरियाँ मिलती हैं।

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40. Q.40

    विद्यार्थी 60° का कोण बनाते हैं: केंद्र O से खींचा चाप भुजा को A पर काटता है, और केंद्र A से उसी त्रिज्या का चाप पहले चाप को B पर काटता है। यह पूछने पर कि कोण AOB 60° ही क्यों होगा, शिक्षक को किस औचित्य की अपेक्षा करनी चाहिए?

    1. A मापने पर चाँदे पर यह कोण 60° पढ़ा जाता है, और यही इसे हर स्थिति के लिए सिद्ध कर देता है
    2. B OA, OB और AB तीनों त्रिज्या के बराबर हैं, अतः त्रिभुज OAB समबाहु है और हर कोण 60° है
    3. C परकार सदा 60° के कोण ही बनाता है, चाहे त्रिज्या कुछ भी हो
    4. D परकार से खींचा गया कोई भी चाप वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण काटता है
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) OA, OB और AB तीनों त्रिज्या के बराबर हैं, अतः त्रिभुज OAB समबाहु है और हर कोण 60° है

    औचित्य रचना को ज्ञात तथ्यों से जोड़ता है: तीन बराबर भुजाएँ समबाहु त्रिभुज बनाती हैं, जिसके कोण बराबर होते हैं, अतः हर कोण 180° ÷ 3 = 60° है। 'यह क्यों काम करता है?' पूछने से रचना नुस्खे के बजाय तर्क बन जाती है।

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41. Q.41

    एक बच्चा पेंसिल को पैमाने (रूलर) पर 0 के निशान से 7 के निशान तक रखता है, 0, 1, 2, ..., 7 ज़ोर से गिनता है और कहता है कि पेंसिल 8 सेमी लंबी है। बच्चा:

    1. A ने सही मापा है, क्योंकि पेंसिल आठवें निशान तक पहुँचती है
    2. B अभी 8 तक की संख्याएँ सही क्रम में नहीं जानता
    3. C बीच की इकाई जगहों के बजाय निशान गिनता है
    4. D पैमाने पर सेंटीमीटर और मिलीमीटर में भ्रमित है
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (C) बीच की इकाई जगहों के बजाय निशान गिनता है

    लंबाई ढकी गई इकाई जगहों की संख्या है, निशानों की नहीं; 0 से 7 तक एक-एक सेंटीमीटर की 7 जगहें हैं। इकाई टुकड़ों को सिरे से सिरा मिलाकर रखना, या ऐसे 'टूटे' पैमाने से मापना जो 0 से शुरू नहीं होता, इसे स्पष्ट करता है।

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42. Q.42

    प्रश्न '0.5 + 0.3 = ?' के लिए एक शिक्षक गलत विकल्प 0.08, 8 और 0.53 लिखता है, जिनमें से हर एक बच्चों की किसी आम त्रुटि से मेल खाता है। इस प्रकार विकल्प बनाने का मुख्य लाभ यह है कि:

    1. A चुना गया गलत विकल्प किसी विशिष्ट भ्रांति की ओर संकेत करता है
    2. B प्रश्न का अनुमान लगाना आसान हो जाता है, जिससे कमज़ोर बच्चों को भी कुछ अंक मिलते हैं
    3. C बच्चे केवल गलत विकल्प पढ़कर ही इन त्रुटियों से बचना सीख जाते हैं
    4. D शिक्षक को अनुवर्ती कार्य की ज़रूरत नहीं रहती, क्योंकि परीक्षा स्वयं त्रुटियाँ सुधार देती है
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) चुना गया गलत विकल्प किसी विशिष्ट भ्रांति की ओर संकेत करता है

    जब गलत विकल्प ज्ञात त्रुटियों (0.08 में दशांश + दशांश को शतांश मान लेना, 8 में दशमलव बिंदु की अनदेखी, 0.53 में अंकों को साथ-साथ लिख देना) से बनाए जाते हैं, तो हर गलत चयन शिक्षक को बताता है कि बच्चा क्या सोच रहा है, जिससे उपचारात्मक शिक्षण लक्षित हो सके। मनमाने गलत विकल्प केवल इतना बताते हैं कि उत्तर गलत था।

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43. Q.43

    गणित शिक्षण पर NCERT के पोज़िशन पेपर की अनुशंसाओं के बारे में इन कथनों पर विचार कीजिए:

    1. मूल्यांकन में विद्यार्थियों की केवल प्रक्रियात्मक जानकारी नहीं, बल्कि गणितीकरण की क्षमता परखी जानी चाहिए।

    2. हर विद्यार्थी को सफलता की भावना के साथ जोड़ा जाए, और उभरते गणितज्ञ को वैचारिक चुनौतियाँ दी जाएँ।

    इनमें से कौन-सा/से सही है/हैं?

    1. A 1 और 2 दोनों
    2. B केवल 1
    3. C केवल 2
    4. D न तो 1, न ही 2
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) 1 और 2 दोनों

    दोनों पोज़िशन पेपर की अनुशंसाओं में हैं, साथ ही संकीर्ण से उच्च उद्देश्यों की ओर ध्यान ले जाना और शिक्षकों को विविध गणितीय संसाधनों से समृद्ध करना भी।

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44. Q.44

    एक शिक्षक दशमलव तभी पढ़ाने की योजना बनाता है जब बच्चे भिन्न और स्थानीय मान में सहज हो जाएँ। यह निर्णय गणित की किस विशेषता पर आधारित है?

    1. A इसकी प्रतीकात्मक (निरूपणात्मक) प्रकृति
    2. B इसकी परिशुद्धता (सटीकता)
    3. C इसकी सौंदर्यात्मक (प्रतिरूप-आधारित) प्रकृति
    4. D इसकी क्रमबद्ध (क्रमिक) प्रकृति
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) इसकी क्रमबद्ध (क्रमिक) प्रकृति

    गणित क्रमबद्ध है: हर अवधारणा पिछली अवधारणाओं पर बनती है, इसलिए दशमलव (दशांश, शतांश) के लिए भिन्न और स्थानीय मान की पूर्व समझ आवश्यक है।

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45. Q.45

    कक्षा 7 का एक विद्यार्थी तर्क देता है, 'हर वर्ग एक आयत है क्योंकि उसमें आयत के सभी गुण हैं, पर हर आयत वर्ग नहीं होता।' यह तर्क वैन हीले के किस स्तर से मेल खाता है?

    1. A अनौपचारिक निगमन (अमूर्तन)
    2. B दृश्यीकरण (पूरी आकृति की पहचान)
    3. C कठोरता (अभिगृहीत तंत्रों की तुलना)
    4. D विश्लेषण (वर्णनात्मक)
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) अनौपचारिक निगमन (अमूर्तन)

    आकृतियों के वर्गों को उनके गुणों से जोड़ना (वर्ग-समावेशन) और अनौपचारिक तर्क देना अनौपचारिक निगमन स्तर है। विश्लेषण स्तर पर बच्चा गुण गिनाता है पर वर्गों के बीच संबंध नहीं देखता।

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46. Q.46

    स्थानीय मान के मॉडल के रूप में आधार-दस (डीन्स) ब्लॉक और अबेकस की सही तुलना कौन-सा कथन करता है?

    1. A दोनों अ-आनुपातिक मॉडल हैं, क्योंकि दोनों में से कोई भी आकार से मान नहीं दिखाता
    2. B अबेकस आनुपातिक मॉडल है, क्योंकि उसका हर मनका ठीक एक ही आकार का होता है
    3. C दोनों आनुपातिक मॉडल हैं, क्योंकि दोनों में दहाई आकार में इकाई की ठीक दस गुना होती है
    4. D दहाई ब्लॉक आकार में इकाई का दस गुना है; अबेकस में मनके का मान केवल खूँटी से तय होता है
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (D) दहाई ब्लॉक आकार में इकाई का दस गुना है; अबेकस में मनके का मान केवल खूँटी से तय होता है

    डीन्स ब्लॉक आनुपातिक मॉडल हैं (एक छड़ दस इकाइयों जितनी बड़ी होती है), इसलिए 'दस' का आकार दिखता है; अबेकस अ-आनुपातिक है, क्योंकि दहाई की खूँटी का मनका इकाई की खूँटी के मनके जैसा ही दिखता है। इसीलिए अबेकस से पहले प्रायः समूहित की जा सकने वाली या आनुपातिक सामग्री का उपयोग होता है।

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47. Q.47

    37 + 56 = 36 + __ में रिक्त स्थान भरने को कहने पर एक बच्चा बिना जोड़े कहता है, '36, 37 से एक कम है, इसलिए रिक्त स्थान 56 से एक अधिक, यानी 57 होना चाहिए।' यह दर्शाता है:

    1. A बराबर चिह्न के बारे में संबंधात्मक चिंतन, जो प्रारंभिक बीजगणित को सहारा देता है
    2. B दो अंकों के जोड़ में कमज़ोरी, इसलिए बच्चा संख्याओं को सीधे जोड़ने से बचता है
    3. C बिना कोई समझ के, रटे हुए किसी शॉर्टकट नियम का यांत्रिक उपयोग
    4. D 37 और 56 जैसी दो अंकों की संख्याओं में स्थानीय मान को लेकर बच्चे के मन में भ्रम
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) बराबर चिह्न के बारे में संबंधात्मक चिंतन, जो प्रारंभिक बीजगणित को सहारा देता है

    बच्चा दोनों पक्षों को बराबर मात्राएँ मानता है और पहले 93 निकालने के बजाय उनके संबंध पर तर्क करता है। ऐसा संबंधात्मक चिंतन आगे चलकर समीकरणों के साथ काम करने की नींव है, और शिक्षक को बच्चों से इसे समझाने को कहना चाहिए।

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48. Q.48

    शिक्षक कक्षा 8 के विद्यार्थियों को कैलकुलेटर से 1/7, 2/7, 3/7, ... को दशमलव में लिखने और दोहराए जाने वाले अंकों में पैटर्न खोजने देता है। कैलकुलेटर के इस उपयोग के बारे में कौन-सा कथन सबसे उपयुक्त है?

    1. A यह अच्छा उपयोग है: लंबे भाग कैलकुलेटर करता है, जिससे ध्यान पैटर्न और उसकी व्याख्या पर जाता है
    2. B यह अच्छा उपयोग है, क्योंकि अब विद्यार्थियों को भाग समझने की आवश्यकता नहीं रहेगी
    3. C यह खराब उपयोग है, क्योंकि उच्च प्राथमिक कक्षाओं में किसी भी विषय के लिए कैलकुलेटर का उपयोग कभी नहीं होना चाहिए
    4. D यह खराब उपयोग है, क्योंकि कैलकुलेटर 1/7 जैसी भिन्नों का दशमलव रूप नहीं दिखा सकते
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (A) यह अच्छा उपयोग है: लंबे भाग कैलकुलेटर करता है, जिससे ध्यान पैटर्न और उसकी व्याख्या पर जाता है

    सातवें भागों के दशमलव में वही छह अंक, 142857, घूमे हुए क्रम में दोहराते हैं (1/7 = 0.142857..., 2/7 = 0.285714...)। साधारण भाग कैलकुलेटर को सौंपने से विद्यार्थी इसे देख और समझा पाते हैं; यह समझ की जगह नहीं लेता, उसे सहारा देता है।

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49. Q.49

    निम्नलिखित में से कौन-सा ज़ोल्टन डीन्स के गणित अधिगम के सिद्धांतों में से नहीं है?

    1. A गतिशील सिद्धांत
    2. B प्रभाव का नियम (law of effect)
    3. C प्रत्यक्षात्मक परिवर्तनशीलता सिद्धांत
    4. D रचनात्मकता सिद्धांत
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) प्रभाव का नियम (law of effect)

    डीन्स ने चार सिद्धांत दिए: गतिशील, रचनात्मकता, गणितीय परिवर्तनशीलता और प्रत्यक्षात्मक परिवर्तनशीलता। प्रभाव का नियम थॉर्नडाइक के संबंधवाद का है।

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50. Q.50

    NCF 2005 विद्यालयी गणित के 'संकीर्ण उद्देश्य' और 'उच्च उद्देश्य' में भेद करता है। संकीर्ण उद्देश्य का तात्पर्य है:

    1. A विद्यार्थियों को प्रतियोगी और प्रवेश परीक्षाओं में अच्छे अंक लाने के लिए तैयार करना
    2. B दैनिक जीवन के लिए उपयोगी क्षमताएँ, विशेषकर संख्यात्मकता, विकसित करना
    3. C देश के लिए पेशेवर गणितज्ञ और शोधकर्ता तैयार करना
    4. D निर्धारित पाठ्यपुस्तक और सारा पाठ्यक्रम सत्र के भीतर ही समय पर पूरा करना
    उत्तर देखें

    सही उत्तर: (B) दैनिक जीवन के लिए उपयोगी क्षमताएँ, विशेषकर संख्यात्मकता, विकसित करना

    संकीर्ण उद्देश्य दैनिक जीवन में आवश्यक उपयोगी क्षमताएँ, विशेषकर संख्या-संबंधी कौशल (संख्यात्मकता) विकसित करना है; उच्च उद्देश्य बच्चे के गणितीय ढंग से सोचने और तर्क करने के संसाधनों का विकास है।

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