Pariksha Saathi8 में से पाठ 1 · गणित शिक्षाशास्त्र
गणित की प्रकृति: तर्क, पैटर्न, आगमनात्मक और निगमनात्मक चिंतन
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गणित किस प्रकार का विषय है
गणित वस्तुओं से नहीं, विचारों से संबंधित है। संख्या 3 तीन आम या तीन पेंसिलें नहीं है; यह वह है जो तीन वस्तुओं के हर समूह में समान है, इसलिए सबसे सरल अंक भी एक अमूर्तन है। गणित तार्किक है (हर चरण पिछले चरणों से निकलता है), परिशुद्ध है (वर्ग की चार समान भुजाएँ और चार समकोण होते हैं, वह केवल डिब्बे जैसी आकृति नहीं है), प्रतीकात्मक है (एक विचार 3 + 4 = 7 या a × b = b × a जैसे चिह्नों में संक्षिप्त हो जाता है) और क्रमबद्ध या पदानुक्रमिक है (स्थानीय मान समूहन पर और गुणा जोड़ पर टिका है)। यह संचयी भी है: यूक्लिड द्वारा लगभग 300 ईसा पूर्व सिद्ध किया गया परिणाम आज भी सत्य है, क्योंकि गणितीय सत्य उपपत्ति (प्रमाण) से तय होता है, प्रयोग, बहुमत की राय या शिक्षक के अधिकार से नहीं। गणित क्रमबद्ध (पदानुक्रमिक) है, इसलिए किसी आरंभिक अवधारणा की कमी वर्षों बाद सामने आती है।
पैटर्न के अध्ययन के रूप में गणित
गणित को प्रायः पैटर्न का विज्ञान कहा जाता है: संख्याओं में पैटर्न (2, 4, 6, 8 या 1, 4, 9, 16), आकृतियों में (टाइलें, किनारियाँ, रंगोली), संक्रियाओं में (9 जोड़ना यानी 10 जोड़कर 1 घटाना) और आँकड़ों में। पैटर्न को पहचानना, आगे बढ़ाना, उसका वर्णन करना और नए पैटर्न बनाना बीजगणितीय चिंतन की शुरुआत है। जो बच्चा कहता है कि तीलियों से बने वर्गों की पंक्ति में हर नए वर्ग के लिए 3 और तीलियाँ चाहिए, वह अक्षरों के प्रयोग से बहुत पहले ही व्यापकीकरण (generalisation) कर रहा है। शिक्षक बच्चों से नियम को अपने शब्दों में कहने और आगे का कोई पद बताने को कहता है।
आगमनात्मक तर्क
आगमन विशिष्ट उदाहरणों से सामान्य नियम की ओर जाता है। बच्चे 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5 और 1 + 3 + 5 + 7 जोड़कर 1, 4, 9 और 16 पाते हैं और देखते हैं कि आरंभिक विषम संख्याओं का योग हमेशा एक वर्ग संख्या होता है; या वे अपने बनाए कई त्रिभुजों के कोण मापते हैं और हर बार योग लगभग 180° पाते हैं। आगमन बच्चों के लिए स्वाभाविक है, प्राथमिक कक्षाओं के अनुकूल है और इसी से अनुमान (conjecture) बनते हैं, पर यह कुछ सिद्ध नहीं करता। व्यंजक n² + n + 41, n के 0 से 39 तक हर मान के लिए अभाज्य संख्या देता है, पर n = 40 पर यह 1681 देता है, जो 41 × 41 है। कई उदाहरणों में दिखा पैटर्न भी विफल हो सकता है, इसलिए आगमनात्मक निष्कर्ष एक मज़बूत अनुमान है जिसकी जाँच आवश्यक है।
निगमनात्मक तर्क और उपपत्ति
निगमन पहले से स्वीकृत किसी सामान्य कथन से ऐसे विशिष्ट निष्कर्ष की ओर जाता है जो अनिवार्य रूप से सत्य हो। यदि हर त्रिभुज के कोणों का योग 180° है और दो कोण 60° और 70° हैं, तो तीसरा कोण 50° ही होगा। औपचारिक गणित निगमनात्मक है: यह अपरिभाषित पदों (बिंदु, रेखा, तल), परिभाषाओं और सत्य मान लिए गए अभिगृहीतों या अभिधारणाओं से शुरू होकर प्रमेय सिद्ध करता है; परिभाषाओं, अभिधारणाओं और अभिगृहीतों पर बनी यूक्लिड की 'एलिमेंट्स' इसका सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है। निगमन निश्चितता देता है पर अमूर्त है, इसलिए यह पियाजे की औपचारिक संक्रियात्मक अवस्था (लगभग 11 वर्ष से) के बड़े विद्यार्थियों के अनुकूल है। एक प्रति-उदाहरण किसी सामान्य दावे को असत्य सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है: 'सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं' 2 के कारण गलत है। गणितीय आगमन का सिद्धांत, अपने नाम के बावजूद, निगमनात्मक उपपत्ति की एक विधि है। आगमन-निगमन विधि नियम खोजने के लिए आगमन और उसे सिद्ध करने के लिए निगमन का उपयोग करती है।
बच्चों का गणितीय चिंतन
बच्चे खाली बर्तन नहीं हैं; वे अपनी रणनीतियाँ स्वयं बनाते हैं। जो बच्चा 9 + 6 को 10 + 5 के रूप में, या 49 + 49 को 50 + 50 में से 2 घटाकर निकालता है, वह संख्याओं की संरचना पर तर्क कर रहा है और उससे अपनी विधि समझाने को कहा जाना चाहिए। पियाजे की मूर्त संक्रियात्मक अवस्था (लगभग 7 से 11 वर्ष) में बच्चे उन वस्तुओं के बारे में तार्किक रूप से सोचते हैं जिन्हें वे देख और छू सकते हैं, और उत्क्रमणीयता समझते हैं (यदि 3 + 5 = 8, तो 8 − 5 = 3), पर केवल शाब्दिक या काल्पनिक तर्क उनके लिए कठिन होता है। प्राथमिक स्तर पर तर्क का अर्थ है औचित्य बताना, इसलिए सबसे उपयोगी प्रश्न हैं 'तुम्हें कैसे पता?' और 'क्या यह हमेशा काम करेगा?'। तार्किक चिंतन छाँटने, तुलना करने, क्रम में लगाने, बेमेल को पहचानने और 'यदि-तो' कथन बनाने से विकसित होता है।
NCF 2005 और गणितीकरण
NCF 2005 (राष्ट्रीय पाठ्यचर्या की रूपरेखा) बच्चे की विचार-प्रक्रियाओं के गणितीकरण को स्कूली गणित का मुख्य लक्ष्य बनाती है: किसी स्थिति को गणितीय दृष्टि से देखना, उसकी राशियाँ और संबंध पहचानना, उन्हें संख्याओं, आरेखों, तालिकाओं या प्रतीकों से निरूपित करना, उस निरूपण पर काम करना और परिणाम को मूल स्थिति में समझना। इसके लिए तैयार गणित शिक्षण पर आधार पत्र (पोज़िशन पेपर) की दृष्टि दो आधारों पर टिकी है: सभी विद्यार्थी गणित सीख सकते हैं, और सभी विद्यार्थियों को गणित सीखने की आवश्यकता है। यह चाहता है कि बच्चे गणित से डरें नहीं बल्कि उसका आनंद लें, उसे सूत्रों और यांत्रिक प्रक्रियाओं से अधिक समझें, उस पर बात करें और मिलकर काम करें, सार्थक समस्याएँ बनाएँ और हल करें, और अमूर्तन का उपयोग करके संबंधों व संरचनाओं को देखें तथा कथनों के सत्य या असत्य होने पर तर्क करें। आधार पत्र डेविड व्हीलर के शब्द उद्धृत करता है: बहुत सारा गणित जानने से अधिक उपयोगी है गणितीकरण करना जानना।
परीक्षा की दृष्टि से
CTET में 'गणित मुख्यतः तेज़ गणना या सूत्र रटना है' वाला विकल्प गलत होता है। उदाहरणों से नियम खोजना आगमनात्मक है; ज्ञात नियम लागू करना या किसी परिणाम को सिद्ध करना निगमनात्मक है। जब कोई बच्चा असामान्य रणनीति अपनाए तो उससे उसे समझाने को कहें, क्योंकि उत्तर से अधिक महत्त्व तर्क का है।
मुख्य तथ्य
- गणित की प्रकृति: अमूर्त, तार्किक, परिशुद्ध, प्रतीकात्मक, क्रमबद्ध (पदानुक्रमिक) और संचयी; इसके सत्य प्रयोग या अधिकार से नहीं, उपपत्ति से स्थापित होते हैं।
- गणित को पैटर्न का विज्ञान कहा जाता है; पैटर्न को आगे बढ़ाना और उसका वर्णन करना (तीलियों के हर नए वर्ग के लिए 3 और तीलियाँ) बीजगणितीय चिंतन की शुरुआत है।
- आगमनात्मक तर्क: विशिष्ट से सामान्य (उदाहरण से नियम); बच्चों के लिए स्वाभाविक और खोज के लिए अच्छा, पर यह अनुमान देता है, उपपत्ति नहीं।
- निगमनात्मक तर्क: सामान्य से विशिष्ट (नियम से उदाहरण); निश्चितता देता है; बड़े विद्यार्थियों के अनुकूल; औपचारिक ज्यामिति अभिगृहीतों और अभिधारणाओं से प्रमेय सिद्ध करती है।
- 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5 जोड़कर हर बार वर्ग संख्या पाने वाले बच्चे आगमन का उपयोग कर रहे हैं; 180° के कोण-योग से अज्ञात कोण निकालना निगमन है।
- n² + n + 41, n के 0 से 39 तक हर मान के लिए अभाज्य है, पर n = 40 पर 1681 = 41 × 41 देता है: कई बार दिखा पैटर्न भी उपपत्ति नहीं है।
- एक प्रति-उदाहरण सामान्य दावे को असत्य सिद्ध कर देता है: 2 एक सम अभाज्य संख्या है, इसलिए 'सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं' गलत है।
- यूक्लिड की 'एलिमेंट्स' (लगभग 300 ईसा पूर्व): परिभाषाएँ, अभिधारणाएँ और अभिगृहीत उपपत्ति द्वारा प्रमेयों तक ले जाते हैं, यही निगमनात्मक गणित का आदर्श है; यूक्लिड ने बिंदु और रेखा को परिभाषित करने का प्रयास किया था, जिन्हें आधुनिक ज्यामिति अपरिभाषित पद मानती है।
- पियाजे: मूर्त संक्रियात्मक अवस्था (लगभग 7 से 11 वर्ष) में बच्चा वास्तविक वस्तुओं से तर्क करता है और उत्क्रमणीयता समझता है (3 + 5 = 8, अतः 8 − 5 = 3); औपचारिक संक्रियात्मक अवस्था (लगभग 11 वर्ष से) में काल्पनिक और निगमनात्मक तर्क करता है।
- NCF 2005: मुख्य लक्ष्य बच्चे की विचार-प्रक्रियाओं का गणितीकरण; इसका गणित शिक्षण पर आधार पत्र दो आधारों पर टिका है (सभी विद्यार्थी गणित सीख सकते हैं और सभी को इसे सीखने की आवश्यकता है) और डेविड व्हीलर को उद्धृत करता है: बहुत सारा गणित जानने से अधिक उपयोगी है गणितीकरण करना जानना।
एक नज़र में दोहराव
गणित अमूर्त, तार्किक, परिशुद्ध, प्रतीकात्मक, क्रमबद्ध और संचयी है, पैटर्न का विज्ञान; सत्य उपपत्ति से; आगमन: उदाहरण से नियम, अनुमान देता है; निगमन: नियम से उदाहरण, निश्चितता देता है; एक प्रति-उदाहरण दावे को असत्य सिद्ध करता है; यूक्लिड: अभिगृहीत से प्रमेय; पियाजे मूर्त संक्रियात्मक 7-11, औपचारिक 11 से; NCF 2005 का लक्ष्य: बच्चे के चिंतन का गणितीकरण; आधार पत्र: सभी सीख सकते हैं और सभी को सीखने की आवश्यकता है; व्हीलर: बहुत सारा गणित जानने से अधिक उपयोगी है गणितीकरण करना जानना।