Pariksha Saathi8 में से पाठ 6 · गणित, कक्षा I-V (पेपर I)
ज्यामिति और आकृतियाँ: ठोस, समतल आकृतियाँ, सममिति, टैनग्राम, परिमाप, क्षेत्रफल और जाल
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बच्चे आकृतियों को कैसे जानते हैं
बच्चे समतल आकृतियों के नाम जानने से बहुत पहले ठोस वस्तुओं को हाथ में लेते हैं, इसलिए NCERT लुढ़कने, फिसलने या एक-दूसरे पर रखी जा सकने वाली वस्तुओं से शुरू करती है: गेंद, डिब्बे, कैन और पासे (कक्षा 1 में Shapes and Space, कक्षा 2 में What is Long, What is Round?)। पियरे और डीना वैन हीले ने ज्यामितीय चिंतन के स्तर बताए। पहले स्तर (दृश्यीकरण) पर बच्चा आकृति को उसके पूरे रूप से पहचानता है, इसलिए कोने के बल झुके वर्ग को वह 'हीरा' (डायमंड) कह सकता है; अगले स्तर (विश्लेषण) पर वह आकृतियों का वर्णन उनके गुणों से करता है, जैसे 4 बराबर भुजाएँ और 4 समकोण। छाँटना, बनाना और चित्र बनाना बच्चों को पहले स्तर से दूसरे स्तर तक ले जाता है।
ठोस, फलक, किनारे और शीर्ष
फलक एक समतल सतह है, किनारा वह है जहाँ दो फलक मिलते हैं और शीर्ष (कोना) वह है जहाँ किनारे मिलते हैं। घन और घनाभ दोनों के 6 फलक, 12 किनारे और 8 शीर्ष होते हैं; त्रिभुजाकार प्रिज़्म के 5 फलक, 9 किनारे और 6 शीर्ष होते हैं; वर्गाकार पिरामिड के 5 फलक, 8 किनारे और 5 शीर्ष होते हैं। समतल फलकों वाले इन ठोसों के लिए फलक + शीर्ष - किनारे = 2 (ऑयलर का सूत्र), जो एक त्वरित जाँच है: 6 + 8 - 12 = 2। बेलन के 2 समतल वृत्ताकार फलक, 1 वक्र पृष्ठ और 2 वक्र किनारे होते हैं, कोई शीर्ष नहीं होता; शंकु का 1 समतल फलक, 1 वक्र पृष्ठ, 1 वक्र किनारा और 1 शीर्ष होता है; गोले का केवल एक वक्र पृष्ठ होता है।
समतल आकृतियाँ और कोण
सीधी भुजाओं से बनी बंद आकृति बहुभुज कहलाती है: त्रिभुज की 3 भुजाएँ होती हैं, चतुर्भुज की 4, पंचभुज की 5, षट्भुज की 6 और अष्टभुज की 8। वृत्त का एक केंद्र होता है; त्रिज्या केंद्र को वृत्त से जोड़ती है, और व्यास, जो केंद्र से होकर जाता है, त्रिज्या का दोगुना होता है। कोणों की तुलना समकोण से की जाती है, जो कागज़ के पन्ने का कोना है (90 अंश): उससे छोटा कोण न्यून कोण और उससे बड़ा पर सीधी रेखा से छोटा कोण अधिक कोण कहलाता है। वर्ग और आयत दोनों में 4 समकोण होते हैं; वर्ग की 4 भुजाएँ बराबर भी होती हैं, इसलिए हर वर्ग एक आयत है, पर हर आयत वर्ग नहीं है।
सममिति
किसी आकृति में रेखा सममिति तब होती है जब उसे किसी रेखा पर इस तरह मोड़ा जा सके कि दोनों आधे भाग ठीक-ठीक मेल खाएँ; बच्चे इसे कागज़ मोड़कर और दर्पण से जाँचते हैं। वर्ग में सममिति की 4 रेखाएँ होती हैं, वर्ग न होने वाले आयत में 2, समबाहु त्रिभुज में 3, समद्विबाहु त्रिभुज में 1, विषमबाहु त्रिभुज में कोई नहीं, सम षट्भुज में 6 और वृत्त में अनगिनत। सादे अंग्रेज़ी बड़े अक्षरों में A, M, T, U, V, W और Y में ऊर्ध्वाधर सममिति रेखा होती है, B, C, D, E और K में क्षैतिज, और H, I, O और X में दोनों। कक्षा 5 का अध्याय Does it Look the Same? घूर्णन सममिति जोड़ता है, जिसमें आकृति पूरे चक्कर के किसी भाग जितना घुमाने पर वैसी ही दिखती है: वर्ग हर 1/4 चक्कर के बाद, आयत 1/2 चक्कर के बाद, और अक्षर H, N, S, X और Z 1/2 चक्कर के बाद वैसे ही दिखते हैं।
टैनग्राम और टेसलेशन
टैनग्राम एक वर्ग है जिसे 7 टुकड़ों में काटा जाता है: 2 बड़े त्रिभुज, 1 मध्यम त्रिभुज, 2 छोटे त्रिभुज, 1 वर्ग और 1 समांतर चतुर्भुज। दो छोटे त्रिभुजों से वर्ग, मध्यम त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज बन सकता है, इसलिए इन 3 टुकड़ों के क्षेत्रफल बराबर हैं, और सभी 7 टुकड़ों से बने हर चित्र का क्षेत्रफल मूल वर्ग के बराबर होता है: आकृति बदलती है, क्षेत्रफल नहीं। टेसलेशन (टाइलों जैसा पैटर्न) किसी सतह को बिना खाली जगह छोड़े और बिना टुकड़ों को एक-दूसरे पर चढ़ाए ढक देता है; वर्ग, समबाहु त्रिभुज और सम षट्भुज अकेले ही ऐसा कर लेते हैं, सम पंचभुज और वृत्त नहीं।
गिनकर परिमाप और क्षेत्रफल
परिमाप सीमा की लंबाई है, जैसे खेत के चारों ओर की बाड़ (कक्षा 4 का अध्याय Fields and Fences); क्षेत्रफल सतह की मात्रा है, जिसे इकाई वर्गों में गिना जाता है (कक्षा 5 का अध्याय Area and its Boundary)। वर्गांकित कागज़ पर हर पूरे वर्ग को 1 गिनें, आधे से बड़े भाग को भी 1 और ठीक आधे वर्ग को 1/2 मानें, और आधे से छोटे भागों को छोड़ दें। दोनों विचार स्वतंत्र हैं: 12 इकाई वर्ग 1 × 12, 2 × 6 या 3 × 4 के रूप में रखे जाएँ तो क्षेत्रफल सदैव 12 रहता है, पर परिमाप 26, 16 और 14 इकाई होते हैं, और 20 सेमी परिमाप वाले आयतों (1 × 9, 4 × 6, 5 × 5) के क्षेत्रफल 9, 24 और 25 वर्ग सेमी होते हैं, जिनमें वर्ग सबसे अधिक क्षेत्र घेरता है। 1 वर्ग मीटर = 100 सेमी × 100 सेमी = 10,000 वर्ग सेमी।
जाल, दृश्य और नक्शे
जाल एक समतल आकार है जो मोड़ने पर ठोस बन जाता है। घन के 11 अलग-अलग जाल होते हैं, पर 6 वर्गों की सीधी पंक्ति या 2 × 3 वर्गों का खंड मोड़कर घन नहीं बनता (कक्षा 5 का अध्याय Boxes and Sketches)। सामान्य पासे पर आमने-सामने के फलकों का योग 7 होता है (1 और 6, 2 और 5, 3 और 4)। स्थानिक समझ में किसी वस्तु को ऊपर, सामने और बगल से देखना (कक्षा 3 का अध्याय Where to Look From) और पैमाने वाले नक्शे पढ़ना भी शामिल है: यदि 1 सेमी 100 मीटर दर्शाता है, तो नक्शे पर 4.5 सेमी ज़मीन पर 450 मीटर है।
मुख्य तथ्य
- घन और घनाभ: 6 फलक, 12 किनारे, 8 शीर्ष; त्रिभुजाकार प्रिज़्म 5, 9, 6; वर्गाकार पिरामिड 5, 8, 5; फलक + शीर्ष - किनारे = 2।
- बेलन: 2 समतल फलक, 1 वक्र पृष्ठ, 2 वक्र किनारे, कोई शीर्ष नहीं; शंकु: 1 समतल फलक, 1 वक्र पृष्ठ, 1 शीर्ष; गोला: केवल वक्र पृष्ठ।
- वैन हीले: दृश्य स्तर पर झुके हुए वर्ग को 'हीरा' कहा जाता है; विश्लेषण स्तर पर आकृतियों का वर्णन उनके गुणों से होता है।
- सममिति रेखाएँ: वर्ग 4, वर्ग न होने वाला आयत 2, समबाहु त्रिभुज 3, समद्विबाहु 1, विषमबाहु 0, सम षट्भुज 6, वृत्त अनगिनत।
- घूर्णन सममिति: वर्ग हर 1/4 चक्कर के बाद, आयत 1/2 चक्कर के बाद वैसा ही दिखता है; H, N, S, X और Z 1/2 चक्कर के बाद।
- टैनग्राम: 7 टुकड़े (5 त्रिभुज, 1 वर्ग, 1 समांतर चतुर्भुज); दो छोटे त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल वर्ग, मध्यम त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज के बराबर है।
- समान क्षेत्रफल, भिन्न परिमाप: 12 इकाई वर्ग 1 × 12, 2 × 6 या 3 × 4 के रूप में परिमाप 26, 16 और 14 देते हैं।
- समान परिमाप 20 सेमी: आयत 1 × 9, 4 × 6 और 5 × 5 के क्षेत्रफल 9, 24 और 25 वर्ग सेमी; वर्ग सबसे अधिक क्षेत्र घेरता है।
- घन के 11 जाल हैं; पासे के आमने-सामने के फलकों का योग 7 है; 1 सेमी = 100 मीटर वाले नक्शे पर 4.5 सेमी = 450 मीटर।
एक नज़र में दोहराव
ठोस पहले, समतल आकृतियाँ बाद में; फलक, किनारा, शीर्ष; घन 6 फलक, 12 किनारे, 8 शीर्ष; त्रिभुजाकार प्रिज़्म 5, 9, 6; वर्गाकार पिरामिड 5, 8, 5; फलक + शीर्ष - किनारे = 2; व्यास = 2 × त्रिज्या; समकोण 90 अंश, न्यून कोण 90 अंश से छोटा, अधिक कोण 90 और 180 अंश के बीच; सममिति रेखाएँ: वर्ग 4, वर्ग न होने वाला आयत 2, समबाहु त्रिभुज 3, वृत्त अनगिनत; टैनग्राम 7 टुकड़े; परिमाप = सीमा, क्षेत्रफल = इकाई वर्ग, दोनों स्वतंत्र रूप से बदलते हैं; घन के 11 जाल।