Pariksha Saathi8 में से पाठ 8 · गणित, कक्षा VI-VIII (पेपर II)
आँकड़ों का प्रबंधन: माध्य, माध्यक, बहुलक, आलेख और प्रायिकता
AI की सहायता से तैयार किया गया और 28 अक्टूबर 2026 को तथ्यों की जाँच की गई; किसी मानव संपादक ने इसे अभी पंक्ति-दर-पंक्ति नहीं पढ़ा है। कोई गलती दिखे तो हमें बताइए। संपादकीय मानक और सुधार
आँकड़ों का संग्रह और संगठन
जैसे-जैसे मिलते जाएँ वैसे ही दर्ज किए गए आँकड़े कच्चे आँकड़े कहलाते हैं; मिलान चिह्नों (पाँचवाँ चिह्न बाकी चार को काटता है) वाली बारंबारता सारणी बताती है कि हर मान कितनी बार आया, और परिसर सबसे बड़े मान में से सबसे छोटा मान घटाने पर मिलता है। अधिक आँकड़ों को समान चौड़ाई वाले वर्ग अंतरालों में समूहित किया जाता है, जैसे 10-20, 20-30 और 30-40, जहाँ 10 निम्न सीमा, 20 उपरि सीमा और 10 वर्ग माप है; परिपाटी के अनुसार उपरि सीमा के बराबर मान, जैसे 20, अगले अंतराल 20-30 में गिना जाता है। चित्रालेख आँकड़ों को संकेतों और कुंजी से दिखाता है, इसलिए यदि एक संकेत 10 कारों के लिए है, तो आधा संकेत 5 कारों के लिए है।
माध्य, माध्यक और बहुलक
ये प्रतिनिधि मान पूरे आँकड़ा समूह को एक संख्या से दर्शाते हैं। समांतर माध्य प्रेक्षणों के योग को उनकी संख्या से भाग देने पर मिलता है; माध्यक आँकड़ों को क्रम में रखने पर बीच का मान है, और मानों की संख्या सम हो तो बीच के दो मानों का माध्य; बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है। अंकों 42, 37, 50, 45, 37, 48 और 56 का योग 315 है, इसलिए माध्य 315 ÷ 7 = 45 है; क्रम में ये 37, 37, 42, 45, 48, 50, 56 हैं, इसलिए माध्यक 45 है; बहुलक 37 है; और परिसर 56 − 37 = 19 है। 10, 14, 18, 20, 25 और 31 का माध्यक (18 + 20) ÷ 2 = 19 है। किसी आँकड़ा समूह के एक से अधिक बहुलक हो सकते हैं, या कोई भी नहीं, यदि कोई मान दोहराया न जाए।
मापों का उपयोग
माध्य सदा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच होता है। हर मान में 5 जोड़ने पर माध्य, माध्यक और बहुलक 5 बढ़ जाते हैं, और हर मान दुगुना करने पर वे भी दुगुने हो जाते हैं। लुप्त मान कुल योग से निकलता है: यदि पाँच संख्याओं का माध्य 18 है और उनमें से चार 15, 20, 12 और 25 हैं, तो पाँचवीं संख्या 90 − 72 = 18 है; यदि छह संख्याओं का माध्य 20 है और एक संख्या हटाने पर 18 हो जाता है, तो हटाई गई संख्या 120 − 90 = 30 है। चरम मान माध्य को अपनी ओर खींच लेते हैं, इसलिए एक बहुत धनी परिवार वाले गाँव की आय को माध्यक बेहतर दर्शाता है, जबकि बहुलक बताता है कि कौन-सा माप या रंग सबसे अधिक प्रचलित है, जो जूते मँगवाने वाले दुकानदार को जानना होता है।
दंड आलेख और आयतचित्र
दंड आलेख में समान चौड़ाई वाले दंड होते हैं जिनके बीच समान अंतराल होता है, और उनकी ऊँचाई किसी बताए गए पैमाने पर मान दर्शाती है (1 इकाई = 10 विद्यार्थी); दोहरा दंड आलेख दो समूहों की तुलना के लिए दो दंड साथ-साथ रखता है, जैसे दो सत्रों में किसी कक्षा के अंक। आयतचित्र समूहित आँकड़े दर्शाता है: वर्ग अंतराल क्षैतिज अक्ष पर होते हैं, दंड बिना अंतराल के सटे होते हैं, हर दंड की चौड़ाई वर्ग माप और ऊँचाई बारंबारता होती है। जब पहला अंतराल 0 से शुरू न हो, तो क्षैतिज अक्ष पर टेढ़ी-मेढ़ी रेखा (किंक) पैमाने में यह विराम दिखाती है।
पाई चार्ट
पाई चार्ट, या वृत्त आलेख, दिखाता है कि पूर्ण राशि भागों में कैसे बँटी है; हर त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 360° का उतना ही भाग होता है जितना वह भाग पूर्ण का है, इसलिए केंद्रीय कोण = (मान ÷ कुल) × 360°, और प्रतिशत को 3.6 से गुणा करने पर अंश मिलते हैं। यदि 36 विद्यार्थी क्रिकेट (15), फ़ुटबॉल (9), हॉकी (6) और कबड्डी (6) चुनें, तो कोण 150°, 90°, 60° और 60° होंगे, जिनका योग 360° है। उलटी दिशा में पढ़ें तो ₹50,000 के मासिक व्यय में 72° का त्रिज्यखंड उसका 72/360 = 1/5, अर्थात् ₹10,000 है, और 25% का भाग 90° का त्रिज्यखंड होता है।
संयोग और प्रायिकता
सिक्का उछालने या पासा फेंकने जैसे प्रयोग के परिणाम होते हैं, और जब वे समसंभावी हों तो किसी घटना की प्रायिकता उसके अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल परिणामों की संख्या से भाग देने पर मिलती है। पासे के 6 परिणाम होते हैं, इसलिए P(सम संख्या) = 3/6 = 1/2, P(4 से बड़ी संख्या) = 2/6 = 1/3 और P(अभाज्य संख्या) = 3/6 = 1/2, क्योंकि अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं। 3 लाल, 5 नीली और 2 हरी गेंदों वाले थैले से P(नीली) = 5/10 = 1/2 और P(लाल नहीं) = 7/10। प्रायिकता असंभव घटना के लिए 0 और निश्चित घटना के लिए 1 के बीच होती है, और P(E नहीं) = 1 − P(E)। दो सिक्के उछालने पर चार परिणाम HH, HT, TH और TT मिलते हैं (H = चित, T = पट), इसलिए P(ठीक एक चित) = 2/4 = 1/2।
कक्षा में
बच्चे आँकड़ों को क्रम में रखे बिना माध्यक निकाल लेते हैं, बहुलक के रूप में सबसे बड़ी बारंबारता वाले मान के स्थान पर स्वयं वह बारंबारता लिख देते हैं, आयतचित्र के दंडों के बीच अंतराल छोड़ देते हैं, और पाई चार्ट में प्रतिशत को सीधे अंश मान लेते हैं। कक्षा के अपने आँकड़े (लंबाई, जन्मदिन, स्कूल आने के साधन) एकत्र करना, उनसे आलेख बनाना और पूछना कि हर आलेख क्या दिखाता है और क्या नहीं, केवल गणना की नहीं बल्कि आँकड़ों की व्याख्या की आदत बनाता है; सिक्के को 50 बार उछालने से दिखता है कि चित आने का अनुपात 1/2 के निकट आता है, पर उसका ठीक उतना ही होना आवश्यक नहीं।
मुख्य तथ्य
- अंक 42, 37, 50, 45, 37, 48, 56: माध्य 315 ÷ 7 = 45, माध्यक 45, बहुलक 37, परिसर 19।
- मानों की संख्या सम हो तो: 10, 14, 18, 20, 25, 31 का माध्यक (18 + 20) ÷ 2 = 19।
- लुप्त मान: 6 संख्याओं का माध्य 20 और शेष 5 का 18 है, अतः हटाई गई संख्या 120 − 90 = 30 है।
- हर मान में कोई अचर जोड़ने पर वह माध्य, माध्यक और बहुलक में भी जुड़ जाता है; हर मान को किसी संख्या से गुणा करने पर ये भी उसी संख्या से गुणा हो जाते हैं।
- वर्ग अंतराल 10-20, 20-30: मान 20 को 20-30 में गिना जाता है; वर्ग माप 10 है।
- आयतचित्र के दंड सटे होते हैं और समूहित आँकड़े दिखाते हैं; दंड आलेख में दंडों के बीच समान अंतराल होता है।
- पाई चार्ट: केंद्रीय कोण = (मान ÷ कुल) × 360°, अतः 36 में से 15 विद्यार्थी = 150°, और 25% = 90°।
- पासा: P(सम) = 1/2, P(4 से बड़ी) = 1/3, P(अभाज्य) = 1/2; किसी भी घटना के लिए P(E नहीं) = 1 − P(E)।
- 3 लाल, 5 नीली और 2 हरी गेंदों वाला थैला: P(नीली) = 5/10 = 1/2 और P(लाल नहीं) = 7/10।
- चरम मान हों तो माध्यक चुनें, सबसे प्रचलित माप या पसंद के लिए बहुलक, और समग्र औसत के लिए माध्य।
एक नज़र में दोहराव
परिसर = सबसे बड़ा − सबसे छोटा मान; उपरि वर्ग सीमा के बराबर मान अगले अंतराल में; माध्य = योग ÷ संख्या; माध्यक = क्रम में रखने पर बीच का मान (सम संख्या हो तो बीच के दो का माध्य); बहुलक = सबसे अधिक बार आने वाला मान; हर मान में k जोड़ने पर माध्य, माध्यक और बहुलक में k जुड़ता है; दंड आलेख में अंतराल, आयतचित्र में नहीं; पाई चार्ट का कोण = मान ÷ कुल × 360°, 1% = 3.6°; प्रायिकता = अनुकूल ÷ कुल समसंभावी परिणाम, 0 से 1 तक; P(E नहीं) = 1 − P(E)।