Pariksha Saathi8 में से पाठ 7 · गणित, कक्षा VI-VIII (पेपर II)
क्षेत्रमिति: परिमाप, क्षेत्रफल, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (घन, घनाभ, बेलन)
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परिमाप
परिमाप किसी बंद आकृति की सीमा की लंबाई है: आयत के लिए 2(l + b), वर्ग के लिए 4a, त्रिभुज के लिए भुजाओं का योग और n भुजाओं वाले सम बहुभुज के लिए n × भुजा। 120 मी × 80 मी के खेत की बाड़ के लिए 2(120 + 80) = 400 मी तार चाहिए, जो ₹15 प्रति मीटर की दर से ₹6,000 का होगा। वृत्त का परिमाप, अर्थात् उसकी परिधि, 2πr या πd है, जहाँ π को 22/7 या 3.14 लिया जाता है। 35 सेमी त्रिज्या वाला पहिया एक चक्कर में 2 × 22/7 × 35 = 220 सेमी चलता है, इसलिए 1.1 किमी में 1,10,000 ÷ 220 = 500 चक्कर लगाता है। 7 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का परिमाप πr + 2r = 22 + 14 = 36 सेमी है; व्यास को छोड़ देना एक आम भूल है।
समतल आकृतियों का क्षेत्रफल
क्षेत्रफल किसी आकृति द्वारा घेरा गया तल है, जिसे वर्ग इकाइयों में मापते हैं: 1 मी² = 10,000 सेमी² और 1 हेक्टेयर = 10,000 मी²। आयत का क्षेत्रफल l × b और वर्ग का a² है; समांतर चतुर्भुज का आधार × ऊँचाई, क्योंकि एक सिरे से त्रिभुज काटकर दूसरे सिरे पर जोड़ने से आयत बन जाता है; त्रिभुज का 1/2 × आधार × ऊँचाई, अर्थात् समान आधार और ऊँचाई वाले समांतर चतुर्भुज का आधा; समचतुर्भुज का 1/2 × विकर्णों का गुणनफल; समलंब का 1/2 × समांतर भुजाओं का योग × उनके बीच की दूरी; और वृत्त का πr²। इस प्रकार 12 सेमी आधार और 7.5 सेमी ऊँचाई वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 90 सेमी² है; 8 मी की दूरी पर स्थित 10 मी और 16 मी की समांतर भुजाओं वाले समलंब का 104 मी²; 12 सेमी और 18 सेमी विकर्णों वाले समचतुर्भुज का 108 सेमी²; और 14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का 22/7 × 196 = 616 सेमी²।
पथ, वलय और पैमाना
किसी पथ या किनारी का क्षेत्रफल बाहरी क्षेत्रफल में से भीतरी क्षेत्रफल घटाकर निकलता है। 40 मी × 30 मी के बगीचे के बाहर चारों ओर 2.5 मी चौड़ा पथ बाहरी आयत को 45 मी × 35 मी बना देता है, इसलिए पथ का क्षेत्रफल 1,575 − 1,200 = 375 मी² है। 14 सेमी और 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्तों के बीच के वलय का क्षेत्रफल 22/7 × (196 − 49) = 462 सेमी² है। क्षेत्रफल पैमाने के वर्ग के अनुसार बदलता है: वर्ग की भुजा दुगुनी करने पर क्षेत्रफल 4 गुना और वृत्त की त्रिज्या तिगुनी करने पर क्षेत्रफल 9 गुना हो जाता है। क्षेत्रफल और परिमाप आपस में बँधे नहीं हैं: 6 सेमी × 4 सेमी के आयत और 5 सेमी भुजा वाले वर्ग दोनों का परिमाप 20 सेमी है, पर क्षेत्रफल 24 सेमी² और 25 सेमी² हैं।
पृष्ठीय क्षेत्रफल
किसी ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(lb + bh + hl) और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल, अर्थात् चार दीवारों का क्षेत्रफल, 2h(l + b) है; घन के लिए ये 6a² और 4a² हैं; बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr(r + h) है। 10 सेमी × 8 सेमी × 5 सेमी के घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(80 + 40 + 50) = 340 सेमी² है। 6 मी लंबे, 5 मी चौड़े और 4 मी ऊँचे कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल 2 × 4 × (6 + 5) = 88 मी² है, इसलिए दीवारों और छत की पुताई 88 + 30 = 118 मी² की होगी। 7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले बंद बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 सेमी² और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 × 22/7 × 7 × 17 = 748 सेमी² है।
आयतन और धारिता
आयतन वह स्थान है जो कोई ठोस घेरता है, जिसे घन इकाइयों में मापते हैं: घनाभ का l × b × h, घन का a³ और बेलन का πr²h। धारिता लीटर में मापी जाती है: 1 सेमी³ = 1 मिलीलीटर, 1,000 सेमी³ = 1 लीटर और 1 मी³ = 1,000 लीटर। 2 मी × 1.5 मी × 1 मी की टंकी में 3 मी³ अर्थात् 3,000 लीटर पानी आता है; 7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले बेलन में 22/7 × 49 × 10 = 1,540 सेमी³ अर्थात् 1.54 लीटर। 8 सेमी × 6 सेमी × 4 सेमी के घनाभ में 2 सेमी भुजा वाले 4 × 3 × 2 = 24 घन समाते हैं, और 88 सेमी² आधार पर बने 440 सेमी³ आयतन वाले घनाभ की ऊँचाई 5 सेमी है। घन के हर किनारे को दुगुना करने पर उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 गुना और आयतन 8 गुना हो जाता है।
कक्षा में
सामान्य भूलें हैं क्षेत्रफल और परिमाप में भ्रम, असमान मात्रकों को मिलाना (सेमी के साथ मी, या सेमी के साथ सेमी²), त्रिज्या का वर्ग करना भूल जाना, और पृष्ठीय क्षेत्रफल व आयतन को एक समझना। सूत्रों से पहले बच्चे ग्रिड पेपर पर इकाई वर्ग गिनते हैं और इकाई घनों से घनाभ बनाते हैं; वृत्त को अनेक बराबर त्रिज्यखंडों में काटकर πr लंबाई और r ऊँचाई वाली लगभग समांतर चतुर्भुज जैसी आकृति के रूप में सजाते हैं ताकि समझ सकें कि उसका क्षेत्रफल πr² क्यों है; और डिब्बे का लेबल खोलकर देखते हैं कि बेलन का वक्र पृष्ठ 2πr लंबाई और h ऊँचाई वाला आयत है।
मुख्य तथ्य
- बाड़: 120 मी × 80 मी के खेत का परिमाप 400 मी; ₹15 प्रति मीटर की दर से तार का मूल्य ₹6,000।
- 35 सेमी त्रिज्या वाला पहिया: परिधि 220 सेमी, अतः 1.1 किमी में 1,10,000 ÷ 220 = 500 चक्कर।
- 7 सेमी त्रिज्या वाला अर्धवृत्त: परिमाप 22 + 14 = 36 सेमी और क्षेत्रफल 1/2 × 22/7 × 49 = 77 सेमी²।
- क्षेत्रफल: समांतर चतुर्भुज b × h; त्रिभुज 1/2 × b × h; समचतुर्भुज 1/2 × d₁ × d₂; समलंब 1/2 × (a + b) × h; वृत्त πr², अतः r = 14 सेमी पर 616 सेमी²।
- 40 मी × 30 मी के बगीचे के बाहर 2.5 मी चौड़े पथ का क्षेत्रफल 45 × 35 − 40 × 30 = 1,575 − 1,200 = 375 मी²।
- 14 सेमी और 7 सेमी त्रिज्याओं के बीच का वलय: 22/7 × (196 − 49) = 22/7 × 147 = 462 सेमी²।
- 6 मी × 5 मी × 4 मी का कमरा: चार दीवारें 2 × 4 × 11 = 88 मी², दीवारें और छत मिलाकर 118 मी²।
- 7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाला बेलन: वक्र पृष्ठ 440 सेमी², कुल पृष्ठ 748 सेमी², आयतन 1,540 सेमी³ = 1.54 लीटर।
- मात्रक: 1 मी² = 10,000 सेमी²; 1 हेक्टेयर = 10,000 मी²; 1 लीटर = 1,000 सेमी³; 1 मी³ = 1,000 लीटर।
- समान परिमाप, भिन्न क्षेत्रफल: 6 सेमी × 4 सेमी का आयत और 5 सेमी भुजा वाला वर्ग, दोनों का परिमाप 20 सेमी, पर क्षेत्रफल 24 सेमी² और 25 सेमी²।
एक नज़र में दोहराव
आयत P = 2(l + b), A = lb; वृत्त C = 2πr, A = πr²; समांतर चतुर्भुज bh; त्रिभुज 1/2 bh; समचतुर्भुज 1/2 d₁d₂; समलंब 1/2 (a + b)h; पथ = बाहरी − भीतरी क्षेत्रफल; घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(lb + bh + hl), चार दीवारें 2h(l + b); घन 6a²; बेलन का वक्र पृष्ठ 2πrh, कुल पृष्ठ 2πr(r + h); आयतन lbh, a³, πr²h; 1 लीटर = 1,000 सेमी³, 1 मी³ = 1,000 लीटर; घन का किनारा दुगुना: पृष्ठ 4 गुना, आयतन 8 गुना।