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गणित, कक्षा VI-VIII (पेपर II): मुख्य तथ्य और अभ्यास प्रश्न

CTET और राज्य TET परीक्षाओं के लिए गणित, कक्षा VI-VIII (पेपर II) दोहराएँ: बार-बार पूछे जाने वाले तथ्य और अंतर, एक नज़र में दोहराने की सूची, और उत्तर तथा स्पष्टीकरण सहित 10 अभ्यास प्रश्न।

AI की सहायता से तैयार किया गया और 2026-10-15 को तथ्यों की जाँच की गई; हिन्दी पाठ को प्रकाशक ने 16 अक्टूबर 2026 को पढ़कर स्वीकृत किया। कोई गलती दिखे तो हमें बताइए। संपादकीय मानक और सुधार

अभ्यास प्रश्नों पर जाएँ ↓

मुख्य अवधारणाएँ और तथ्य

अपनी संख्याओं को जानना: भारतीय आवर्त इकाई, हज़ार, लाख और करोड़ हैं, इसलिए 2,08,40,015 को दो करोड़ आठ लाख चालीस हज़ार पंद्रह पढ़ते हैं; अंतर्राष्ट्रीय आवर्त इकाई, हज़ार और मिलियन हैं, इसलिए 1 मिलियन = 10 लाख। स्थानीय मान अंक और उसके स्थान के मान का गुणनफल है (3,62,18,405 में 6 का मान 60,00,000 है)। आकलन के लिए सबसे बड़े स्थान तक पूर्णांकन करें: 689 × 312 लगभग 700 × 300 = 2,10,000 है। रोमन संख्यांकों में कोई संकेत तीन बार से अधिक नहीं दोहराया जाता, V, L और D कभी नहीं दोहराए जाते, और घटाने के लिए केवल I, X और C को बड़े संकेत से पहले लिखा जाता है: 1984 = MCMLXXXIV।
संख्याओं के साथ खेलना: अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं; 1 न अभाज्य है न भाज्य, और 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। विभाज्यता: 3 या 9 के लिए अंकों का योग देखें; 4 के लिए अंतिम दो अंक; 8 के लिए अंतिम तीन; 11 के लिए एकांतर अंकों के योगों का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। दो सह-अभाज्य संख्याओं से विभाज्य संख्या उनके गुणनफल से भी विभाज्य होती है, पर 4 और 6 से विभाज्य संख्या का 24 से विभाज्य होना आवश्यक नहीं। HCF में उभयनिष्ठ अभाज्यों की न्यूनतम घातें और LCM में सभी अभाज्यों की अधिकतम घातें ली जाती हैं, और दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = उनका गुणनफल। 'सबसे बड़ा बर्तन' HCF का संकेत है; 'फिर एक साथ बजना' LCM का।
पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक: पूर्ण संख्याएँ योग और गुणन के अंतर्गत संवृत हैं, व्यवकलन या भाग के अंतर्गत नहीं; 0 योज्य तत्समक है, 1 गुणनात्मक तत्समक है, और 0 से भाग परिभाषित नहीं है। पूर्णांक शून्य से नीचे के तापमान, गहराई और हानि को दर्शाते हैं। किसी पूर्णांक को घटाने का अर्थ उसका योज्य प्रतिलोम जोड़ना है: −12 − (−20) = 8। शून्येतर पूर्णांकों के गुणनफल में ऋणात्मक गुणनखंडों की संख्या विषम हो तो गुणनफल ऋणात्मक होता है।
भिन्न, दशमलव और परिमेय संख्याएँ: जोड़ने या घटाने से पहले हर समान करें; भाग के लिए व्युत्क्रम से गुणा करें: 4 1/2 ÷ 3/4 = 6। दशमलवों के गुणनफल में उतने दशमलव स्थान होते हैं जितने सभी गुणनखंडों में मिलाकर: 0.3 × 0.02 = 0.006। परिमेय संख्या p/q होती है जिसमें p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है, और किन्हीं दो के बीच अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं: 1/3 और 1/2 के बीच 9/24, 10/24 और 11/24 हैं। घातांक (a ≠ 0): aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, a⁰ = 1, a⁻ᵐ = 1/aᵐ; मानक रूप k × 10ⁿ है जिसमें 1 ≤ k < 10। पूर्ण वर्ग के अंत में कभी 2, 3, 7 या 8 नहीं होता; वर्गमूल और घनमूल अभाज्य गुणनखंडों के जोड़े या त्रिक बनाकर मिलते हैं: √1,764 = 42।
बीजगणित: चर किसी भी संख्या के लिए आता है, जैसे n वर्गों की पंक्ति में तीलियों का नियम 3n + 1। समीकरण को दोनों पक्षों पर एक ही संक्रिया करके हल किया जाता है। अनुपात एक ही प्रकार की राशियों की एक ही मात्रक में तुलना है (50 cm : 2 m = 1 : 4); a : b = c : d समानुपात है जब a × d = b × c, और ऐकिक विधि में पहले एक इकाई का मान निकाला जाता है। लाभ और हानि प्रतिशत क्रय मूल्य पर निकाले जाते हैं।
ज्यामिति: एक सरल रेखा पर बने कोणों का योग 180° और एक बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग 360° होता है; त्रिभुज के कोणों का योग 180° और चतुर्भुज के कोणों का योग 360° है। हर वर्ग एक आयत और एक समचतुर्भुज है, पर इसका उलटा सत्य नहीं। उत्तल बहुफलक F + V − E = 2 को संतुष्ट करते हैं; घन के 6 फलक, 12 किनारे और 8 शीर्ष होते हैं। वर्ग में सममिति की 4 रेखाएँ होती हैं, वर्ग से भिन्न आयत में 2 और समबाहु त्रिभुज में 3। केवल पटरी और परकार से लंब समद्विभाजक, कोण समद्विभाजक तथा 60°, 30°, 90° और 120° के कोण बनाए जा सकते हैं।
क्षेत्रमिति और आँकड़ों का प्रबंधन: आयत का परिमाप 2(l + b) और क्षेत्रफल l × b है, त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 × आधार × ऊँचाई है, और वृत्त की परिधि 2πr तथा क्षेत्रफल πr² है। घनाभ का आयतन l × b × h है, और 1 लीटर = 1,000 cm³। माध्य मानों के योग को उनकी संख्या से भाग देने पर मिलता है, माध्यक क्रम में बीच का मान है (या बीच के दो मानों का माध्य), और बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला मान है; पाई चार्ट में त्रिज्यखंड 360° का उतना ही भाग होता है जितना वह मद कुल का भाग है।
सामान्य भूलें: अंशों और हरों को अलग-अलग जोड़ना (1/2 + 1/3 = 5/6 है, 2/5 नहीं), −(−a) को −a मानना, HCF और LCM को आपस में बदल देना, 20 और 50 के बीच की पूर्ण संख्याएँ 29 की जगह 30 गिनना, 2³ = 6 लिखना, और क्षेत्रफल व परिमाप में भ्रम। हर उत्तर को वापस रखकर, आकलन से या प्रतिलोम संक्रिया से जाँचें।

एक नज़र में दोहराने की सूची

भारतीय और अंतर्राष्ट्रीय पद्धति: 4,07,30,500 = 40,730,500, जिसे चार करोड़ सात लाख तीस हज़ार पाँच सौ, या चालीस मिलियन सात सौ तीस हज़ार पाँच सौ पढ़ते हैं।
विभाज्यता: 4,15,512, 8 से विभाज्य है क्योंकि 512 = 8 × 64, और 9 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग 4 + 1 + 5 + 5 + 1 + 2 = 18, 9 का गुणज है।
HCF और LCM: 36 = 2² × 3² और 48 = 2⁴ × 3, अतः HCF = 2² × 3 = 12 और LCM = 2⁴ × 3² = 144; जाँच: 12 × 144 = 36 × 48 = 1,728।
पूर्णांक: (−8) − (−13) + (−6) = −8 + 13 − 6 = −1, और (−3) × (−4) × (−5) = −60, क्योंकि तीन ऋणात्मक गुणनखंड हैं।
भिन्न और दशमलव: 2 1/2 ÷ 5/6 = 5/2 × 6/5 = 3, और 0.25 × 0.4 = 0.100 = 0.1।
घातांक: 3⁴ × 3⁻² = 3² = 9, (5/2)⁻² = 4/25, और मानक रूप में 4,50,00,000 = 4.5 × 10⁷।
वर्ग और घन: 1,764 = 2² × 3² × 7², अतः √1,764 = 42; 2,744 = 2³ × 7³, अतः ∛2,744 = 14।
बीजगणित: यदि 3x + 7 = 25, तो 3x = 18 और x = 6; जाँच: 3 × 6 + 7 = 25।
अनुपात और प्रतिशत: ₹1,200 को 3 : 5 के अनुपात में बाँटने पर ₹450 और ₹750 मिलते हैं; ₹800 में खरीदी और ₹920 में बेची गई वस्तु पर लाभ 120/800 × 100 = 15% है।
ज्यामिति और क्षेत्रमिति: जिस त्रिभुज के दो कोण 47° और 68° हैं, उसका तीसरा कोण 180° − 115° = 65° है; 12 m × 5 m के आयत का परिमाप 34 m और क्षेत्रफल 60 m² है।
आँकड़ों का प्रबंधन: 4, 7, 7, 9 और 13 का माध्य 40 ÷ 5 = 8, माध्यक 7 और बहुलक 7 है।

विस्तार से पाठ

गणित, कक्षा VI-VIII (पेपर II) पर 8 विस्तृत पाठ, हर उप-विषय पर एक, अपने मुख्य तथ्यों और एक नज़र में दोहराव के साथ।

अभ्यास प्रश्न

उत्तर खोलने से पहले हर प्रश्न स्वयं हल करें।

1. संख्या 7,40,53,962 में 4 के स्थानीय मान और 5 के स्थानीय मान का अंतर क्या है? (A) 3,95,000 (B) 39,95,000 (C) 39,50,000 (D) 3,50,000

उत्तर: (C) 39,50,000. 4 दस लाख के स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान 40,00,000 है; 5 दस हज़ार के स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान 50,000 है। अंतर = 40,00,000 − 50,000 = 39,50,000।

2. एक शिक्षिका के पास चॉक के 24 से अधिक टुकड़े हैं। वह 12-12 के, 16-16 के या 24-24 के बंडल बनाए, हर बार ठीक 7 टुकड़े बचते हैं। उसके पास कम से कम कितने टुकड़े हैं? (A) 31 (B) 41 (C) 48 (D) 55

उत्तर: (D) 55. संख्या में से 7 घटाने पर 12, 16 और 24 का उभयनिष्ठ गुणज मिलना चाहिए, और सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज LCM = 48 है। अतः संख्या 48 + 7 = 55; जाँच: 55 = 4 × 12 + 7 = 3 × 16 + 7 = 2 × 24 + 7।

3. एक डिब्बे में 2 3/4 लीटर दूध है। फिर उसमें 1 5/6 लीटर दूध और डाला जाता है, और 2 1/3 लीटर दूध चाय बनाने में लगता है। डिब्बे में कितना दूध बचा? (A) 1 1/4 लीटर (B) 2 1/4 लीटर (C) 2 7/12 लीटर (D) 3 1/4 लीटर

उत्तर: (B) 2 1/4 लीटर. सार्व हर 12 लेकर: 2 9/12 + 1 10/12 − 2 4/12 = 1 15/12 = 2 3/12 = 2 1/4 लीटर। 15/12 में से बने एक पूरे को आगे न ले जाने पर 1 1/4 आता है।

4. 0.000000307 का मानक रूप क्या है? (A) 3.07 × 10⁷ (B) 3.07 × 10⁻⁶ (C) 307 × 10⁻⁹ (D) 3.07 × 10⁻⁷

उत्तर: (D) 3.07 × 10⁻⁷. दशमलव बिंदु को 7 स्थान दाईं ओर ले जाने पर 3.07 मिलता है, अतः 0.000000307 = 3.07 × 10⁻⁷। 307 × 10⁻⁹ का मान वही है पर यह मानक रूप नहीं है, क्योंकि मानक रूप में संख्या 1 या उससे बड़ी और 10 से छोटी होनी चाहिए।

5. माचिस की तीलियों से बने प्रत्येक अक्षर E में 5 तीलियाँ लगती हैं। एक पंक्ति में अलग-अलग रखे n ऐसे अक्षर E बनाने के लिए कितनी तीलियाँ चाहिए? (A) n + 5 (B) 5n (C) 5n + 1 (D) n⁵

उत्तर: (B) 5n. प्रत्येक अक्षर में 5 तीलियाँ लगती हैं और अक्षर कोई तीली साझा नहीं करते, इसलिए n अक्षरों के लिए 5 × n = 5n तीलियाँ चाहिए (जैसे 3 अक्षरों के लिए 15)।

6. हल कीजिए: (x − 2)/5 + 3 = (x + 4)/3 (A) 9.5 (B) −11.5 (C) 17.5 (D) 19

उत्तर: (A) 9.5. दोनों पक्षों को 15 से गुणा कीजिए: 3(x − 2) + 45 = 5(x + 4), अतः 3x + 39 = 5x + 20, 2x = 19 और x = 9.5। जाँच: 7.5/5 + 3 = 4.5 तथा 13.5/3 = 4.5।

7. 3x² − 27 का पूर्ण गुणनखंडन है: (A) 3(x − 3)² (B) 3(x + 9)(x − 9) (C) (3x + 3)(x − 9) (D) 3(x + 3)(x − 3)

उत्तर: (D) 3(x + 3)(x − 3). सार्व गुणनखंड 3 बाहर निकालने पर 3(x² − 9) मिलता है। फिर x² − 9 = (x + 3)(x − 3), अतः 3x² − 27 = 3(x + 3)(x − 3)।

8. साधारण ब्याज पर ₹6,500 की राशि 4 वर्षों में ₹8,190 हो जाती है। वार्षिक ब्याज दर क्या है? (A) 5.2% (B) 6.5% (C) 13% (D) 26%

उत्तर: (B) 6.5%. साधारण ब्याज = 8190 − 6500 = ₹1,690। दर = (1690 × 100) ÷ (6500 × 4) = 6.5% वार्षिक।

9. एक सरल रेखा पर सात बिंदु A, B, C, D, E, F और G इसी क्रम में अंकित हैं। ऐसे कितने अलग-अलग रेखाखंड हैं जिनके दोनों अंत बिंदु इन्हीं बिंदुओं में से हों? (A) 6 रेखाखंड (B) 7 रेखाखंड (C) 20 रेखाखंड (D) 21 रेखाखंड

उत्तर: (D) 21 रेखाखंड. प्रत्येक रेखाखंड 7 में से 2 बिंदु चुनने से बनता है, और AB तथा BA एक ही रेखाखंड है। A के 6 साथी हैं, B के 5 नए, इसी प्रकार आगे: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21।

10. किसी कोण का संपूरक उसके पूरक का पाँच गुना है। वह कोण कितना है? (A) 22.5° (B) 45° (C) 67.5° (D) 112.5°

उत्तर: (C) 67.5°. 180° − x = 5(90° − x) से 180° − x = 450° − 5x, अतः 4x = 270° और x = 67.5°। जाँच: पूरक 22.5° है और संपूरक 112.5° = 5 × 22.5° है।

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यह कहाँ पूछा जाता है

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