Pariksha Saathi8 में से पाठ 1 · गणित, कक्षा VI-VIII (पेपर II)
संख्या पद्धति: पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, विभाज्यता, HCF और LCM
AI की सहायता से तैयार किया गया और 28 अक्टूबर 2026 को तथ्यों की जाँच की गई; किसी मानव संपादक ने इसे अभी पंक्ति-दर-पंक्ति नहीं पढ़ा है। कोई गलती दिखे तो हमें बताइए। संपादकीय मानक और सुधार
पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक
प्राकृत संख्याओं 1, 2, 3, ... में 0 जोड़ने पर पूर्ण संख्याएँ बनती हैं, और −1, −2, −3, ... भी जोड़ने पर पूर्णांक। पूर्ण संख्याएँ योग और गुणन के अंतर्गत संवृत हैं, पर व्यवकलन (3 − 5) या भाग (5 ÷ 2) के अंतर्गत नहीं; पूर्णांक व्यवकलन के अंतर्गत भी संवृत हैं, पर भाग के अंतर्गत नहीं, क्योंकि (−9) ÷ 2 पूर्णांक नहीं है। गुणन का योग पर वितरण होता है, a × (b + c) = a × b + a × c, जिससे गुणा जल्दी हो जाता है: 854 × 102 = 85,400 + 1,708 = 87,108। किसी भी पूर्णांक a के लिए a ÷ (−1) = −a, a ≠ 0 होने पर 0 ÷ a = 0, और a ÷ 0 परिभाषित नहीं है।
परिमेय संख्याएँ
परिमेय संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0, इसलिए हर पूर्णांक (−5 = −5/1) और हर सांत दशमलव (0.75 = 3/4) परिमेय संख्या है। मानक रूप में हर धनात्मक होता है और अंश व हर में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता: −45/30 और 36/−24 दोनों −3/2 बन जाते हैं। तुलना के लिए समान धनात्मक हर लें: −3/4 = −9/12 और −5/6 = −10/12, अतः −3/4 > −5/6। परिमेय संख्याएँ योग, व्यवकलन और गुणन के अंतर्गत संवृत हैं, पर भाग के अंतर्गत नहीं, क्योंकि 0 से भाग परिभाषित नहीं है। a/b का योज्य प्रतिलोम −a/b और व्युत्क्रम b/a है, इसलिए −7/9 का व्युत्क्रम −9/7 है, 9/7 नहीं, और 0 का कोई व्युत्क्रम नहीं होता।
गुणनखंड, गुणज और अभाज्य संख्याएँ
अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं, भाज्य संख्या के दो से अधिक, और 1 न अभाज्य है न भाज्य। 100 तक 25 अभाज्य संख्याएँ हैं, जिन्हें इरैटोस्थनीज़ की छलनी 100 तक की संख्याओं के चार्ट पर 2, 3, 5 और 7 के गुणजों को काटकर निकालती है; 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, 4 सबसे छोटी भाज्य संख्या और 9 सबसे छोटी विषम भाज्य संख्या। जुड़वाँ अभाज्य संख्याओं में 2 का अंतर होता है (11 और 13); सह-अभाज्य संख्याओं में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता, पर उनका स्वयं अभाज्य होना आवश्यक नहीं (8 और 15)। संपूर्ण संख्या अपने अन्य गुणनखंडों के योग के बराबर होती है: 6 = 1 + 2 + 3 और 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14।
विभाज्यता के नियम
3 और 9 की जाँच अंकों के योग से करें, 4 की अंतिम दो अंकों से, 8 की अंतिम तीन अंकों से, 6 की 2 और 3 दोनों से, और 11 की विषम और सम स्थानों के अंकों के योगों के अंतर से, जो 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। 61,809 में विषम स्थानों के अंकों का योग 9 + 8 + 6 = 23 और सम स्थानों का 0 + 1 = 1 है; अंतर 22, 11 का गुणज है, और 61,809 = 11 × 5,619। यदि 21y5, 9 का गुणज है, तो 8 + y को 9 या 18 होना चाहिए, अतः अंक y = 1; यदि 31z5, 3 का गुणज है, तो z = 0, 3, 6 या 9। व्यापक रूप इन युक्तियों का कारण बताता है: दो अंकों की संख्या ab = 10a + b है, इसलिए ab + ba = 11(a + b) और ab − ba = 9(a − b), और तीन अंकों के लिए abc − cba = 99(a − c)।
अभाज्य गुणनखंडन, HCF और LCM
हर भाज्य संख्या, क्रम को छोड़कर, अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही प्रकार से लिखी जाती है, चाहे गुणनखंड वृक्ष से निकालें या बार-बार भाग देकर। HCF (महत्तम समापवर्तक) में उभयनिष्ठ अभाज्यों की न्यूनतम घातें और LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) में हर अभाज्य की अधिकतम घात ली जाती है। 72 = 2³ × 3², 108 = 2² × 3³ और 180 = 2² × 3² × 5 के लिए HCF = 2² × 3² = 36 और LCM = 2³ × 3³ × 5 = 1,080 है। HCF × LCM = गुणनफल का नियम केवल दो संख्याओं पर लागू होता है: 36 × 216 = 7,776 = 72 × 108, पर 36 × 1,080, 72 × 108 × 180 के बराबर नहीं है।
शाब्दिक प्रश्न
'सबसे बड़ी' या 'सबसे लंबी जो ठीक-ठीक माप ले' HCF की ओर संकेत करते हैं, 'सबसे छोटी' या 'फिर एक साथ' LCM की ओर; HCF वाले प्रश्नों में शेषफल पहले संख्याओं में से घटाया जाता है, जबकि LCM वाले प्रश्नों में अंत में LCM में जोड़ा जाता है। वह सबसे बड़ी संख्या जिससे 245 और 1,029 को भाग देने पर 5 शेष बचे, 240 और 1,024 का HCF, अर्थात् 16 है। वह सबसे छोटी संख्या जिसे 6, 15 और 18 से भाग देने पर 5 शेष बचे, उनके LCM में 5 जोड़कर मिलती है: 90 + 5 = 95। 6, 8 और 12 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या उनके LCM 24 का तीन अंकों वाला पहला गुणज, अर्थात् 120 है, और सबसे बड़ी 24 × 41 = 984 है।
कक्षा में
सामान्य भूलें हैं 1 को अभाज्य कहना, सह-अभाज्य संख्याओं को अभाज्य ही मान लेना, LCM को सदा गुणनफल मान लेना (6 और 8 का LCM 24 है, 48 नहीं), और यह मान लेना कि 4 और 6 से विभाज्य संख्या 24 से भी विभाज्य होगी (12 नहीं है; यह नियम सह-अभाज्य भाजकों के लिए है, जैसे 18 के लिए 2 और 9)। शिक्षक बच्चों से 12 गोटियों को हर संभव आयत में सजवाते हैं (1 × 12, 2 × 6, 3 × 4) ताकि वे गुणनखंडों को जोड़ों में देखें, और संख्या रेखा पर गुणज अंकित करवाते हैं ताकि पहला उभयनिष्ठ चिह्न LCM दिखाए।
मुख्य तथ्य
- संवृतता: पूर्ण संख्याएँ व्यवकलन के अंतर्गत संवृत नहीं हैं (3 − 5 = −2), पूर्णांक भाग के अंतर्गत संवृत नहीं हैं ((−9) ÷ 2 = −4.5), और परिमेय संख्याएँ योग, व्यवकलन और गुणन के अंतर्गत संवृत हैं।
- शीघ्र गुणा के लिए वितरण नियम: 854 × 102 = 854 × 100 + 854 × 2 = 85,400 + 1,708 = 87,108।
- परिमेय संख्या का मानक रूप: −45/30 = −3/2; तुलना में −3/4 = −9/12, −5/6 = −10/12 से बड़ा है।
- −7/9 का व्युत्क्रम −9/7 और योज्य प्रतिलोम 7/9 है; 0 का कोई व्युत्क्रम नहीं होता।
- 11 से विभाज्यता: 61,809 के लिए (9 + 8 + 6) − (0 + 1) = 22, जो 11 का गुणज है, और 61,809 = 11 × 5,619।
- अभाज्य संख्याएँ: 100 तक 25 अभाज्य संख्याएँ हैं; 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है; 1 न अभाज्य है न भाज्य; 6 और 28 संपूर्ण संख्याएँ हैं।
- 72 = 2³ × 3², 108 = 2² × 3³ और 180 = 2² × 3² × 5, अतः इनका HCF 36 और LCM 1,080 है।
- शेषफल वाले प्रश्न: 245 और 1,029 को भाग देकर 5 शेष छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या HCF(240, 1,024) = 16 है; 6, 15 और 18 से भाग देने पर 5 शेष छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या 90 + 5 = 95 है।
- व्यापक रूप: ab + ba = 11(a + b), इसलिए 47 + 74 = 121 = 11 × 11; ab − ba = 9(a − b), इसलिए 74 − 47 = 27 = 9 × 3।
एक नज़र में दोहराव
प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं, पूर्ण संख्याएँ पूर्णांक हैं, पूर्णांक परिमेय हैं; पूर्ण संख्याएँ व्यवकलन के अंतर्गत और पूर्णांक भाग के अंतर्गत संवृत नहीं; परिमेय संख्या p/q, q ≠ 0, मानक रूप में हर धनात्मक और कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं; −7/9 का व्युत्क्रम −9/7; 100 तक 25 अभाज्य, 1 न अभाज्य न भाज्य; 11 का नियम: एकांतर अंकों के योगों का अंतर 0 या 11 का गुणज; HCF में न्यूनतम घातें, LCM में अधिकतम; HCF × LCM = गुणनफल केवल दो संख्याओं के लिए; शेषफल r हो तो (संख्याएँ − r) का HCF या LCM + r।