8 में से पाठ 2 · गणित, कक्षा VI-VIII (पेपर II)

भिन्न, दशमलव, घातांक और घात, वर्ग और घन

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भिन्न

विषम भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है (17/5 = 3 2/5), और भिन्न सरलतम रूप में तब होती है जब उसके अंश और हर का HCF 1 हो (36/48 = 3/4)। असमान भिन्नों की तुलना समान हर बनाकर या वज्र-गुणन से की जाती है: 5/8 < 7/11, क्योंकि 5 × 11 = 55, 8 × 7 = 56 से कम है। इन्हें हरों के LCM की सहायता से जोड़ा जाता है: 2 3/5 + 1 3/4 = 52/20 + 35/20 = 87/20 = 4 7/20। 'का' का अर्थ गुणा है, इसलिए 16 का 3/4 = 12। भाग का अर्थ व्युत्क्रम से गुणा है: 3 1/3 ÷ 2/9 = 10/3 × 9/2 = 15, और 6 मी के फीते से 3/4 मी के 6 ÷ 3/4 = 8 टुकड़े बनते हैं। उचित भिन्न से भाग देने पर उत्तर बड़ा आता है, जो उन बच्चों को चकित करता है जो मानते हैं कि भाग देने से संख्या सदा छोटी होती है।

दशमलव

दशमलव बिंदु के दाईं ओर हर स्थान अपने से पहले वाले स्थान का दसवाँ भाग होता है। भिन्नों को 10, 100 या 1,000 हर वाली तुल्य भिन्न बनाकर या भाग देकर दशमलव में बदला जाता है: 7/25 = 28/100 = 0.28 और 3/8 = 0.375। दशमलवों की तुलना बाईं ओर से स्थान-दर-स्थान होती है, इसलिए 0.5 > 0.45, यद्यपि 0.45 में अधिक अंक हैं। गुणनफल में उतने दशमलव स्थान होते हैं जितने सभी गुणनखंडों में मिलाकर (1.2 × 0.15 = 0.180 = 0.18), और भाग तब सबसे सरल होता है जब भाजक को पूर्ण संख्या बना लिया जाए: 2.56 ÷ 0.16 = 256 ÷ 16 = 16।

घातांक के नियम

शून्येतर a और b तथा पूर्णांक m और n के लिए: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, aᵐ × bᵐ = (ab)ᵐ, aᵐ ÷ bᵐ = (a/b)ᵐ और a⁰ = 1। कक्षा VIII में ऋणात्मक घातांक भी आते हैं, a⁻ᵐ = 1/aᵐ, इसलिए 10⁻³ = 1/1,000 और (−2)⁻³ = −1/8। ऋणात्मक आधार की सम घात धनात्मक और विषम घात ऋणात्मक होती है: (−1)¹⁰¹ = −1। हल किए गए उदाहरण: (2⁵ × 2³) ÷ 2⁴ = 2⁴ = 16; (3⁻¹ + 4⁻¹)⁻¹ = (7/12)⁻¹ = 12/7; और यदि 5ᵐ ÷ 5⁻³ = 5⁵, तो m + 3 = 5 और m = 2। ध्यान दें कि (2³)² = 2⁶ = 64, जबकि 2 की घात 3² अर्थात् 2⁹ = 512 है।

मानक रूप

कोई संख्या मानक रूप में तब होती है जब उसे k × 10ⁿ के रूप में लिखा जाए, जहाँ 1 ≤ k < 10 और n पूर्णांक है। बड़ी संख्याओं में n धनात्मक होता है: प्रकाश की चाल, लगभग 300,000,000 मी/से, 3 × 10⁸ मी/से है। छोटी संख्याओं में n ऋणात्मक होता है: 0.000035 = 3.5 × 10⁻⁵। मानक रूप में पहले घातांक निर्णय करता है, इसलिए 3 × 10⁻⁵, 2 × 10⁻⁴ से छोटा है। 10 की घातों वाला विस्तारित रूप स्थानीय मान दिखाता है: 47,561 = 4 × 10⁴ + 7 × 10³ + 5 × 10² + 6 × 10¹ + 1 × 10⁰।

वर्ग और वर्गमूल

पूर्ण वर्ग के अंत में 0, 1, 4, 5, 6 या 9 आता है और अंत में शून्यों की संख्या सम होती है, इसलिए 2,057 और 1,000 पूर्ण वर्ग नहीं हैं। पहली n विषम संख्याओं का योग n² होता है (1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25); n² और (n + 1)² के बीच 2n ऐसी संख्याएँ होती हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए 81 और 100 के बीच 18; और m > 1 के लिए 2m, m² − 1 और m² + 1 पाइथागोरस त्रिक बनाते हैं (m = 4 से 8, 15, 17)। वर्गमूल अभाज्य गुणनखंडों के जोड़े बनाकर निकलता है: 2,352 = 2⁴ × 3 × 7² पूर्ण वर्ग नहीं है क्योंकि 3 का जोड़ा नहीं बनता; 3 से गुणा करने पर 7,056 = 84² और 3 से भाग देने पर 784 = 28² मिलता है। दशमलवों के लिए √12.25 = 3.5 और √0.0081 = 0.09।

घन और घनमूल

1 से 10 तक के घन 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 और 1,000 हैं। ऋणात्मक संख्या का घन ऋणात्मक होता है, इसलिए −1,331 का घनमूल −11 है। घनमूल अभाज्य गुणनखंडों के तीन-तीन के समूह बनाकर निकलता है: 10,648 = 2³ × 11³, अतः इसका घनमूल 22 है, जबकि 675 = 3³ × 5² को पूर्ण घन 3,375 = 15³ बनाने के लिए 5 से गुणा करना पड़ता है। पूर्ण घन का अंतिम अंक घनमूल का अंतिम अंक तय करता है (8 पर समाप्त घन का घनमूल 2 पर समाप्त होता है, 7 से 3, 3 से 7, 2 से 8), और अंतिम तीन अंक हटाने पर बचा भाग शेष अंक तय करता है: 17,576 का घनमूल 6 पर समाप्त होगा और 17, 2³ = 8 और 3³ = 27 के बीच है, इसलिए घनमूल 26 है। हार्डी-रामानुजन संख्या 1,729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³ वह सबसे छोटी संख्या है जो दो भिन्न प्रकार से दो धनात्मक घनों के योग के रूप में लिखी जा सकती है।

कक्षा में

जो बच्चे 0.45 > 0.5, 1/3 + 1/4 = 2/7 या 2³ = 6 लिखते हैं, उन्होंने अर्थ समझे बिना नियम रट लिए हैं। भिन्न-पट्टियाँ और संख्या रेखा, दशमलव के लिए स्थानीय मान सारणी, n² के लिए ग्रिड पेपर पर बने वर्ग और n³ के लिए इकाई घनों को जमाकर बने बड़े घन, शॉर्टकट सिखाने से पहले हर संकेत को किसी चित्र से जोड़ देते हैं।

मुख्य तथ्य

वज्र-गुणन: 5/8 < 7/11, क्योंकि 5 × 11 = 55, 8 × 7 = 56 से कम है।
मिश्रित भिन्न: 2 3/5 + 1 3/4 = 87/20 = 4 7/20, और 3 1/3 ÷ 2/9 = 10/3 × 9/2 = 15।
दशमलव: 3/8 = 0.375; 1.2 × 0.15 = 0.18; 2.56 ÷ 0.16 = 16; 0.5, 0.45 से बड़ा है।
घातांक: (2⁵ × 2³) ÷ 2⁴ = 16; (−2)⁻³ = −1/8; (3⁻¹ + 4⁻¹)⁻¹ = 12/7; (−1)¹⁰¹ = −1।
(2³)² = 2⁶ = 64, पर 2 की घात 3² अर्थात् 2⁹ = 512; हर शून्येतर a के लिए a⁰ = 1।
मानक रूप: 300,000,000 = 3 × 10⁸ और 0.000035 = 3.5 × 10⁻⁵; k × 10ⁿ में 1 ≤ k < 10।
2,352 = 2⁴ × 3 × 7²: 3 से गुणा करने पर 7,056 = 84², और 3 से भाग देने पर 784 = 28²।
वर्ग: 9² = 81 और 10² = 100 के बीच 2 × 9 = 18 संख्याएँ पूर्ण वर्ग नहीं हैं; 2m, m² − 1, m² + 1 में m = 4 रखने पर त्रिक 8, 15, 17 मिलता है।
घनमूल: ∛10,648 = 22; ∛17,576 = 26; 675 × 5 = 3,375 = 15³; 1,729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³।

एक नज़र में दोहराव

भिन्न से भाग = उसके व्युत्क्रम से गुणा; असमान भिन्नों की तुलना वज्र-गुणन से; गुणनफल में दशमलव स्थान जुड़ते हैं; aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁰ = 1, a⁻ᵐ = 1/aᵐ; मानक रूप k × 10ⁿ, 1 ≤ k < 10; पूर्ण वर्ग के अंत में 0, 1, 4, 5, 6 या 9; पहली n विषम संख्याओं का योग = n²; 2m, m² − 1, m² + 1 त्रिक है; वर्गमूल अभाज्य गुणनखंडों के जोड़े बनाकर, घनमूल उनके तीन-तीन के समूह बनाकर; 1,729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³।

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