Pariksha Saathiशिक्षाशास्त्र
CTET गणित शिक्षाशास्त्र प्रश्न उत्तर हिंदी में
CTET पेपर I और पेपर II (गणित) की तैयारी के लिए गणित शिक्षाशास्त्र पर उत्तर सहित 308 अभ्यास प्रश्न; ज़्यादातर के साथ व्याख्या या पूरा हल भी है। उत्तर खोलने से पहले हर प्रश्न खुद हल करें।
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Q.51
एक विद्यार्थी 2 घंटे 30 मिनट को 2.30 घंटे में बदलता है। शिक्षक को उसे यह समझने में मदद करनी चाहिए कि:
- A उसका उत्तर सही है, क्योंकि 30 मिनट बिंदु के बाद लिखे गए हैं
- B एक घंटे में 60 मिनट होते हैं, इसलिए 30 मिनट = 0.5 घंटा: 2.5 घंटे
- C एक दिन में 24 घंटे होते हैं, इसलिए घंटे पूर्ण संख्या में ही लिखे जाने चाहिए
- D समय हमेशा केवल मिनटों में लिखा जाना चाहिए, घंटों में कभी नहीं
उत्तर देखें
सही उत्तर: (B) एक घंटे में 60 मिनट होते हैं, इसलिए 30 मिनट = 0.5 घंटा: 2.5 घंटे
विद्यार्थी ने मिनटों पर दस-आधारित दशमलव संकेतन लागू कर दिया है; 0.30 घंटा 18 मिनट होगा। घड़ी के डायल पर यह दिखाना कि 30 मिनट, 60 मिनट का आधा है, इकाइयों को सही ढंग से जोड़ता है।
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Q.52
कक्षा 5 का एक विद्यार्थी 618 को 6 से भाग देकर भागफल 13 लिखता है। त्रुटि क्या है?
- A वह 6 × 3 से आगे 6 का पहाड़ा ठीक से नहीं जानता
- B 1 दहाई को 6 से भाग न दे पाने पर वह भागफल में शून्य छोड़ देता है
- C उसने भाग के बिल्कुल पहले चरण में भाज्य और भाजक को आपस में उलट दिया है
- D उसने पहले चरण का शेषफल गलती से भागफल में जोड़ दिया है
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सही उत्तर: (B) 1 दहाई को 6 से भाग न दे पाने पर वह भागफल में शून्य छोड़ देता है
618 ÷ 6 = 103: 6 ÷ 6 = 1 के बाद 1 दहाई को 6 में नहीं बाँटा जा सकता, इसलिए भागफल के दहाई स्थान पर 0 लिखना होता है। पहले अनुमान लगाने से (618 ÷ 6 लगभग 100) दिख जाता कि 13 बहुत छोटा है।
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Q.53
निपुण भारत के संदर्भ में 'बुनियादी संख्या ज्ञान' मुख्यतः बच्चे की किस क्षमता को कहते हैं?
- A बिना कोई भी गलती किए 20 तक के सभी पहाड़े बहुत तेज़ी से बोल पाना
- B एक लाख तक की संख्याएँ सही वर्तनी के साथ शब्दों में लिख पाना
- C पाठ्यपुस्तक में दी गई मानक विधियों से एक चर वाले बीजीय समीकरण हल करना
- D रोज़मर्रा की समस्याओं में तर्क करना और सरल संख्या-अवधारणाएँ लागू करना
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सही उत्तर: (D) रोज़मर्रा की समस्याओं में तर्क करना और सरल संख्या-अवधारणाएँ लागू करना
बुनियादी संख्या ज्ञान रोज़मर्रा की स्थितियों में सरल संख्या-अवधारणाओं को समझने, उनका प्रयोग करने और तर्क करने से संबंधित है, याद करने की गति से नहीं। बीजगणित बुनियादी वर्षों से बहुत आगे की बात है।
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Q.54
कक्षा 8 की एक विद्यार्थी 2⁻³ = −8 लिखती है। कौन-सा तर्क उसे इसे सुधारने में सबसे अधिक मदद करता है?
- A ऋणात्मक घातांक मान को ऋणात्मक बना देता है, इसलिए −8 सही है और कुछ नहीं बदलना
- B 2⁻³ का अर्थ 2 × (−3) है, इसलिए उत्तर −6 होना चाहिए
- C ऋणात्मक घातांक का कोई अर्थ नहीं, इसलिए प्रश्न ही गलत बना है
- D 2² ÷ 2⁵ = (2 × 2) ÷ (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 1/2³, और नियम से 2⁻³, अतः 2⁻³ = 1/8
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सही उत्तर: (D) 2² ÷ 2⁵ = (2 × 2) ÷ (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 1/2³, और नियम से 2⁻³, अतः 2⁻³ = 1/8
गुणनखंड काटकर घातों का भाग करने पर 1/2³ = 1/8 मिलता है, और नियम aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ से 2⁻³, इसलिए दोनों बराबर हैं। ऋणात्मक घातांक व्युत्क्रम दर्शाता है, ऋणात्मक संख्या नहीं।
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Q.55
पियाजे के अनुसार प्राथमिक कक्षाओं के बच्चे (लगभग 7 से 11 वर्ष) मूर्त संक्रियात्मक अवस्था में होते हैं। गणित शिक्षण के लिए इसका मुख्य निहितार्थ है कि:
- A नई अवधारणाएँ प्रतीकों से पहले मूर्त वस्तुओं और वास्तविक स्थितियों से प्रस्तुत की जानी चाहिए
- B बच्चे वस्तुओं या चित्रों के किसी भी सहारे के बिना ही अमूर्त बीजगणितीय चरों पर तर्क कर सकते हैं
- C शिक्षण मुख्यतः नियमों की स्पष्ट मौखिक व्याख्या और उसके बाद लिखित अभ्यास पर निर्भर होना चाहिए
- D बच्चे इस उम्र में कोई तार्किक संक्रिया नहीं सीख सकते, इसलिए केवल रटकर गिनती ही संभव है
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सही उत्तर: (A) नई अवधारणाएँ प्रतीकों से पहले मूर्त वस्तुओं और वास्तविक स्थितियों से प्रस्तुत की जानी चाहिए
मूर्त संक्रियात्मक अवस्था में बच्चे मूर्त वस्तुओं पर तार्किक रूप से तर्क करते हैं पर अमूर्त कथनों पर अभी नहीं, इसलिए गणित को सामग्री और वास्तविक स्थितियों के माध्यम से प्रस्तुत करना चाहिए।
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Q.56
एक विद्यालय राष्ट्रीय गणित दिवस का कार्यक्रम बना रहा है। इन कथनों पर विचार कीजिए:
1. भारत में राष्ट्रीय गणित दिवस 22 दिसंबर को, श्रीनिवास रामानुजन की जयंती पर मनाया जाता है।
2. रामानुजन ने कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में गणितज्ञ जी. एच. हार्डी के साथ कार्य किया।
इनमें से कौन-सा/से सही है/हैं?
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न तो 1, न ही 2
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सही उत्तर: (C) 1 और 2 दोनों
रामानुजन का जन्म 22 दिसंबर 1887 को हुआ था, और 2012 से यह दिन राष्ट्रीय गणित दिवस के रूप में मनाया जाता है। वे 1914 में कैम्ब्रिज गए और वहाँ जी. एच. हार्डी के साथ कार्य किया।
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Q.57
रचनावादी दृष्टिकोण से, गणित में बच्चों द्वारा की गई त्रुटियों को किस रूप में देखा जाना चाहिए?
- A बच्चे की सोच में झाँकने की खिड़कियाँ, जिनसे शिक्षक अगला कदम तय करता है
- B संकेत कि बच्चा गणित के लिए उपयुक्त नहीं है और उसे कोई आसान विषय लेना चाहिए
- C लापरवाही के परिणाम, जो अधिक ड्रिल और नियमित अभ्यास से अपने आप मिट जाएँगे
- D अंक काटने के कारण, ताकि बच्चा अगली बार अधिक सावधान हो जाए
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सही उत्तर: (A) बच्चे की सोच में झाँकने की खिड़कियाँ, जिनसे शिक्षक अगला कदम तय करता है
अधिकांश त्रुटियाँ व्यवस्थित होती हैं और बच्चे की वर्तमान समझ या भ्रांति को प्रकट करती हैं। उनका विश्लेषण (त्रुटि विश्लेषण) एक नैदानिक साधन है, जो दंड देने या ड्रिल से अधिक उपयोगी है।
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Q.58
एक शिक्षक देखता है कि कई विद्यार्थी बहु-अंकीय गुणा में बार-बार एक ही त्रुटि करते हैं। शिक्षक का पहला कदम होना चाहिए:
- A पूरी कक्षा को गुणा का और गृहकार्य देना ताकि गुणा करने में उनका प्रवाह बढ़ सके
- B त्रुटि के पैटर्न का विश्लेषण करके अंतर्निहित भ्रांति की पहचान करना
- C पूरा अध्याय शुरू से धीमी गति से दोबारा पढ़ाना
- D कमज़ोर विद्यार्थियों को अतिरिक्त ड्रिल के लिए अलग अनुभाग में भेज देना
उत्तर देखें
सही उत्तर: (B) त्रुटि के पैटर्न का विश्लेषण करके अंतर्निहित भ्रांति की पहचान करना
बार-बार होने वाली त्रुटि व्यवस्थित होती है, इसलिए शिक्षक को पहले विशिष्ट भ्रांति का निदान करना चाहिए और फिर लक्षित उपचारात्मक शिक्षण की योजना बनानी चाहिए। सामान्य गृहकार्य या सब कुछ दोबारा पढ़ाना कारण को संबोधित नहीं करता।
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Q.59
एक निष्पक्ष सिक्का लगातार पाँच बार चित दिखाता है। अधिकांश विद्यार्थी कहते हैं कि अब छठी उछाल में पट आने की संभावना अधिक है। शिक्षक को चाहिए कि वह:
- A सहमत हो, क्योंकि इतने चित आने के बाद पट अब 'आना ही चाहिए', और अगली कुछ उछालों में परिणाम बराबर हो जाएँगे
- B उन्हें समझाए कि सिक्के की कोई स्मृति नहीं होती, अतः पट की प्रायिकता अब भी 1/2 है, और कई प्रयोगों से परखवाए
- C कहे कि अब चित अधिक संभावित है क्योंकि सिक्का 'लय में' है, और ऐसी लय प्रायः कुछ देर चलती रहती है
- D कहे कि सिक्कों के लिए प्रायिकता की चर्चा नहीं हो सकती, क्योंकि हर उछाल केवल भाग्य की बात है
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सही उत्तर: (B) उन्हें समझाए कि सिक्के की कोई स्मृति नहीं होती, अतः पट की प्रायिकता अब भी 1/2 है, और कई प्रयोगों से परखवाए
निष्पक्ष सिक्के की हर उछाल पिछली उछालों से स्वतंत्र होती है, इसलिए पट की प्रायिकता 1/2 ही रहती है। लगातार चित के बाद क्या आता है, इसके कक्षा-आँकड़े इकट्ठा करने से विद्यार्थी अपने सहज अनुमान को परख पाते हैं।
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Q.60
प्रत्येक स्थिति का मिलान सबसे उपयुक्त माप से कीजिए।
P. दुकान में सबसे अधिक बार बिकने वाला जूते का नाप
Q. एक सामान्य मासिक आय, जब एक व्यक्ति बाकी सबसे कहीं अधिक कमाता है
R. उस कक्षा के औसत अंक जिसमें सभी अंक 40 और 70 के बीच हैं
i. बहुलक
ii. माध्यिका
iii. माध्य
- A P-iii, Q-ii, R-i
- B P-i, Q-iii, R-ii
- C P-i, Q-ii, R-iii
- D P-ii, Q-i, R-iii
उत्तर देखें
सही उत्तर: (C) P-i, Q-ii, R-iii
बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला मान बताता है, जो दुकानदार को चाहिए। एक बहुत बड़ी आय माध्य को ऊपर खींच लेती है, इसलिए माध्यिका सामान्य आय को बेहतर बताती है। जब मान बिना चरम मानों के फैले हों, तो माध्य सभी आँकड़ों का उपयोग करता है और उपयुक्त है।
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Q.61
कक्षा 5 की एक विद्यार्थी 49 को 21 से गुणा करके उत्तर 129 लिखती है और उसे कुछ गलत नहीं लगता। कौन-सी आदत उसे ऐसी त्रुटियाँ स्वयं पकड़ने में सबसे अधिक मदद करेगी?
- A वही गणना ठीक उसी तरीके से दोबारा करना यह देखने के लिए कि फिर 129 आता है या नहीं
- B हर गुणा के लिए कैलकुलेटर का प्रयोग करना ताकि कोई चूक न हो
- C पहले अनुमान लगाना (लगभग 50 × 20 = 1,000) और उसकी तुलना अपने उत्तर से करना
- D 49 × 10 तक 49 का पहाड़ा याद करना
उत्तर देखें
सही उत्तर: (C) पहले अनुमान लगाना (लगभग 50 × 20 = 1,000) और उसकी तुलना अपने उत्तर से करना
लगभग 1,000 का अनुमान तुरंत दिखा देता है कि 129 सही नहीं हो सकता। अनुमान उत्तर के परिमाण का बोध देता है, जो वही चरण दोहराने से नहीं मिलता।
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Q.62
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
1. चूँकि गणित अमूर्त विचारों से संबंधित है, इसलिए इसे सीखने में मूर्त अनुभवों की कोई भूमिका नहीं है।
2. गणित में अमूर्तन का अर्थ है अनेक मूर्त स्थितियों से एक साझा संरचना निकालना, जैसे तीन आम, तीन बच्चे और तीन तालियों से 'तीन' का विचार।
इनमें से कौन-सा/से सही है/हैं?
- A केवल 1
- B केवल 2
- C 1 और 2 दोनों
- D न तो 1, न ही 2
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सही उत्तर: (B) केवल 2
संख्या जैसे अमूर्त विचार अनेक मूर्त स्थितियों में समान बात पहचानकर बनते हैं, इसलिए मूर्त अनुभव अमूर्तन का मार्ग है, उससे असंबद्ध नहीं। अतः कथन 1 असत्य है।
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Q.63
हर अवधारणा का बच्चों के लिए सबसे उपयुक्त पहले अनुभव से मिलान कीजिए:
A. क्षेत्रफल B. परिमाप C. कोण D. आयतन
(i) खेल के मैदान की सीमा के साथ-साथ चलना
(ii) मेज़ की सतह को कॉपियों या टाइलों से ढकना
(iii) दरवाज़ा घुमाना, या नई दिशा की ओर मुड़ना
(iv) एक डिब्बे को इकाई घनों से भरना
- A A-i, B-ii, C-iii, D-iv
- B A-ii, B-i, C-iii, D-iv
- C A-ii, B-i, C-iv, D-iii
- D A-iv, B-i, C-iii, D-ii
उत्तर देखें
सही उत्तर: (B) A-ii, B-i, C-iii, D-iv
क्षेत्रफल ढकी गई सतह की मात्रा है, परिमाप सीमा के चारों ओर की दूरी, कोण घुमाव की मात्रा और आयतन भरी गई जगह। हर माप को किसी शारीरिक या हाथ से किए अनुभव से जोड़ने पर सूत्रों से पहले उसे अर्थ मिलता है।
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Q.64
रस A में 2 गिलास सांद्र रस और 3 गिलास पानी है; रस B में 3 गिलास सांद्र रस और 5 गिलास पानी। एक विद्यार्थी कहता है कि B अधिक गाढ़ा है क्योंकि उसमें सांद्र रस अधिक है। कौन-सा उपागम प्रश्न का सबसे अच्छा निर्णय करता है?
- A कुल मात्रा की तुलना: A के 5 गिलासों के मुकाबले B में कुल 8 गिलास हैं, अतः B अधिक गाढ़ा है
- B पूरे पेय में सांद्र रस के भिन्न की तुलना: A में 2/5 = 0.4, B में 3/8 = 0.375, अतः A गाढ़ा है
- C विद्यार्थी से सहमत होना, क्योंकि 3 गिलास 2 गिलास से अधिक है
- D कहना कि स्वाद व्यक्तिगत है, इसलिए गणित यह निर्णय नहीं कर सकता कि कौन-सा रस अधिक गाढ़ा है
उत्तर देखें
सही उत्तर: (B) पूरे पेय में सांद्र रस के भिन्न की तुलना: A में 2/5 = 0.4, B में 3/8 = 0.375, अतः A गाढ़ा है
गाढ़ापन सांद्र रस और पूरे पेय (या पानी) के अनुपात पर निर्भर है, केवल सांद्र रस की मात्रा पर नहीं। A में 5 में से 2 भाग (40%) और B में 8 में से 3 भाग (37.5%) हैं, अतः A थोड़ा अधिक गाढ़ा है।
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Q.65
कक्षा 3 का एक शिक्षक तार्किक चिंतन विकसित करना चाहता है। कौन-सी गतिविधि सबसे उपयुक्त है?
- A संख्या पहेलियाँ, जैसे 'मैं 20 से छोटी दो अंकों की संख्या हूँ; मेरे अंकों का योग 5 है। मैं कौन?'
- B 2 से 10 तक के पहाड़े कॉपी में उतारना और फिर उन्हें ज़ोर से दोहराना
- C जोड़ के 50 तथ्यों का समयबद्ध अभ्यास, जिसमें सबसे तेज़ बच्चे को सितारा मिले
- D एक से सौ तक की सभी संख्याओं के नाम कॉपी में लिखना और ध्यान से जाँचना कि हर नाम की वर्तनी सही है
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सही उत्तर: (A) संख्या पहेलियाँ, जैसे 'मैं 20 से छोटी दो अंकों की संख्या हूँ; मेरे अंकों का योग 5 है। मैं कौन?'
पहेली में बच्चे संकेतों को जोड़ते हैं, संभावनाओं को हटाते हैं और उत्तर का औचित्य देते हैं, यही तार्किक चिंतन है। पहाड़े उतारना या समयबद्ध अभ्यास स्मरण का अभ्यास है, तर्क का नहीं।
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Q.66
कौन-सा प्रश्न कक्षा 4 के बच्चे की भिन्नों की समझ का, न कि स्मरण का, सबसे अच्छा आकलन करता है?
- A भिन्न 3/4 में कौन-सी संख्या अंश है और कौन-सी संख्या हर है?
- B 'तीन-चौथाई' को अंकों में, और 3/4 को शब्दों में लिखो।
- C बोर्ड पर लिखी भिन्न 2/5, 3/8 और 7/10 ज़ोर से पढ़ो।
- D रोटी का 3/4 उसके आधे से अधिक है या कम? चित्र बनाकर समझाओ।
उत्तर देखें
सही उत्तर: (D) रोटी का 3/4 उसके आधे से अधिक है या कम? चित्र बनाकर समझाओ।
3/4 की तुलना 1/2 से करना और चित्र से उसका औचित्य बताना बच्चे से भिन्नों के आकार पर तर्क करवाता है। बाकी प्रश्न केवल नाम और संकेतन की जाँच करते हैं, जिनका उत्तर बच्चा बिना समझे भी दे सकता है।
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Q.67
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन NCF 2005 में गणित शिक्षा की दृष्टि को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है?
- A बच्चे गणित का आनंद लेना सीखें, उस पर बातचीत और संप्रेषण करें, और सार्थक समस्याएँ बनाएँ और हल करें
- B बच्चे किसी भी अनुप्रयोग से पहले बार-बार के अभ्यास-ड्रिल द्वारा हर संक्रिया के मानक एल्गोरिद्म में महारत हासिल करें
- C बच्चे गणित मुख्यतः परीक्षाओं में अच्छे अंक पाने के लिए सीखें
- D बच्चे सूत्र और परिभाषाएँ रटकर पूरा पाठ्यक्रम पूरा करें ताकि कोई भी विषय-वस्तु छूट न जाए
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) बच्चे गणित का आनंद लेना सीखें, उस पर बातचीत और संप्रेषण करें, और सार्थक समस्याएँ बनाएँ और हल करें
NCF 2005 की परिकल्पना है कि बच्चे गणित से डरने के बजाय उसका आनंद लें, महत्वपूर्ण गणित सीखें, उस पर संवाद करें और सार्थक समस्याएँ बनाएँ और हल करें। यह रटंत स्मरण के स्पष्ट विरुद्ध है।
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Q.68
एक विद्यार्थी दावा करता है कि 0.25, 0.7 से बड़ा है क्योंकि 25, 7 से बड़ा है। सबसे अच्छा उपचारात्मक कदम है:
- A विद्यार्थी से दोनों संख्याएँ दशांश-शतांश में बँटी संख्या रेखा पर रखवाना, या सौ-खानों के ग्रिड पर 0.25 और 0.70 की तुलना करवाना
- B विद्यार्थी को कहना कि दशमलव बिंदु के बाद हमेशा अधिक अंकों वाली संख्या चुने, क्योंकि अधिक अंक का अर्थ अधिक भाग है
- C पचास ऐसे ही तुलना प्रश्नों की वर्कशीट देना और हर गलत उत्तर को लाल स्याही से तब तक काटते रहना जब तक सही नियम स्वचालित न हो जाए
- D विद्यार्थी से यह नियम रटवाना कि छोटे दशमलव बड़े होते हैं, और हर परीक्षा से पहले उसे दोहरवाना
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) विद्यार्थी से दोनों संख्याएँ दशांश-शतांश में बँटी संख्या रेखा पर रखवाना, या सौ-खानों के ग्रिड पर 0.25 और 0.70 की तुलना करवाना
यह त्रुटि दशमलव में स्थानीय मान की अनदेखी से आती है। संख्या रेखा या सौ-ग्रिड बच्चे को दिखाता है कि 0.7 = 0.70, 0.25 से बड़ा है; 'छोटा यानी बड़ा' जैसा रटा नियम स्वयं एक नई भ्रांति बन जाएगा।
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Q.69
कक्षा 8 में बेलन के आयतन के सूत्र को अर्थपूर्ण बनाने के लिए सबसे उपयुक्त गतिविधि है:
- A एक जैसे सिक्कों का स्तंभ बनाकर चर्चा करना कि घनाभ की तरह आयतन = आधार-क्षेत्रफल × ऊँचाई
- B बोर्ड पर V = πr²h लिखकर तुरंत अभ्यास के सवाल देना, ताकि सूत्र शुरू में ही स्मृति में बैठ जाए
- C बेलन के चारों ओर कागज़ लपेटकर उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालना और फिर उसी को आयतन कहना
- D कई बेलनाकार वस्तुओं की केवल ऊँचाई मापना और उन्हें क्रम में लगाना
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) एक जैसे सिक्कों का स्तंभ बनाकर चर्चा करना कि घनाभ की तरह आयतन = आधार-क्षेत्रफल × ऊँचाई
सिक्कों का स्तंभ बेलन को अनेक बराबर वृत्ताकार परतों के रूप में दिखाता है, इसलिए उसका आयतन एक परत का क्षेत्रफल गुणा ऊँचाई है, ठीक घनाभ वाला विचार। कागज़ लपेटने से वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दिखता है, जो एक अलग राशि है।
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Q.70
किसी सांस्कृतिक समूह की प्रथाओं में निहित गणितीय विचारों, जैसे रंगोली के पैटर्न, पारंपरिक माप इकाइयाँ या बुनाई के डिज़ाइन, के अध्ययन को क्या कहते हैं?
- A एथनोमैथेमैटिक्स (जातीय गणित)
- B शुद्ध (सैद्धांतिक) गणित
- C अनुप्रयुक्त सांख्यिकी (applied statistics)
- D अभिगृहीतीय (औपचारिक निगमनात्मक) गणित
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सही उत्तर: (A) एथनोमैथेमैटिक्स (जातीय गणित)
एथनोमैथेमैटिक्स सांस्कृतिक समूहों में प्रचलित गणित को कहते हैं। ऐसे सामुदायिक गणित को कक्षा में लाने से विद्यालयी अधिगम बच्चों के जीवन से जुड़ता है।
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Q.71
माध्य का परिचय देने के लिए शिक्षक पाँच विद्यार्थियों से 2, 8, 3, 4 और 3 घनों की मीनारें बनवाता है, फिर घनों को एक मीनार से दूसरी में तब तक खिसकवाता है जब तक सभी मीनारें बराबर ऊँची न हो जाएँ। यह गतिविधि दिखाती है कि माध्य है:
- A सभी मीनारों में सबसे अधिक बार आने वाली ऊँचाई: 3 घन
- B सबसे ऊँची और सबसे नीची मीनार का अंतर: 8 − 2 = 6 घन
- C सबसे ऊँची मीनार की ऊँचाई: 8 घन
- D घनों को बराबर बाँटने पर हर मीनार की ऊँचाई: 4 घन
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सही उत्तर: (D) घनों को बराबर बाँटने पर हर मीनार की ऊँचाई: 4 घन
मीनारों को बराबर करना कुल 20 घनों को 5 मीनारों में बराबर बाँटता है, हर एक को 4, जो ठीक वही है जो 'जोड़ो और भाग दो' निकालता है। बाकी विकल्प बहुलक, परिसर और अधिकतम मान बताते हैं।
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Q.72
कक्षा 1 और 2 में आकृतियाँ सिखाने के लिए द्विविमीय आकृतियों के बजाय त्रिविमीय वस्तुओं (डिब्बे, गेंद, डिब्बियाँ) से शुरू करने की सलाह दी जाती है। इसका कारण है कि:
- A त्रिविमीय ज्यामिति गणितीय रूप से सरल है, क्योंकि ठोसों में समतल आकृतियों से कम गुण सीखने होते हैं
- B द्विविमीय आकृतियाँ कक्षा 4 या 5 तक प्राथमिक पाठ्यक्रम का हिस्सा नहीं हैं
- C द्विविमीय आकृतियाँ सही-सही बनाने के लिए परकार और रूलर की ज़रूरत होती है, जिन्हें छोटे बच्चे अभी नहीं सँभाल सकते
- D बच्चे परिवेश में पहले ठोस वस्तुओं का अनुभव करते हैं, और समतल आकृतियाँ ठोसों के फलकों से अमूर्त की जाती हैं
उत्तर देखें
सही उत्तर: (D) बच्चे परिवेश में पहले ठोस वस्तुओं का अनुभव करते हैं, और समतल आकृतियाँ ठोसों के फलकों से अमूर्त की जाती हैं
बच्चे रोज़ ठोस वस्तुएँ सँभालते हैं, इसलिए ठोसों से शुरू करके उनके फलकों को ट्रेस करके वृत्त, आयत और त्रिभुज प्राप्त करना मूर्त से अमूर्त के मार्ग का अनुसरण करता है।
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Q.73
एक विद्यार्थी कहती है 2.5 × 10 = 2.50 क्योंकि '10 से गुणा करने के लिए अंत में शून्य लगा देते हैं।' शिक्षक की सबसे अच्छी प्रतिक्रिया है:
- A उत्तर स्वीकार कर लेना, क्योंकि 10 से गुणा करने का नियम शून्य लगाना ही है
- B बिना कारण बताए नया नियम रटवाना: 'बिंदु को एक स्थान दाईं ओर खिसकाओ'
- C स्थानीय मान तालिका पर दिखाना कि हर अंक दस गुना हो जाता है
- D उत्तर गलत करके ऐसे दस और सवाल देना ताकि वह अभ्यास करे
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सही उत्तर: (C) स्थानीय मान तालिका पर दिखाना कि हर अंक दस गुना हो जाता है
'शून्य लगाओ' वाला छोटा रास्ता पूर्ण संख्याओं में इसीलिए काम करता है क्योंकि हर अंक एक स्थान बाईं ओर खिसकता है; 2.50 तो 2.5 के ही बराबर है, यानी कुछ बदला ही नहीं। 2 इकाई का 2 दहाई और 5 दशांश का 5 इकाई (25) बनना देखने से वह कारण मिलता है जो सभी संख्याओं पर लागू होता है।
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Q.74
कक्षा 5 का एक शिक्षक बच्चों से 'गणित डायरी' में लिखने को कहता है कि उन्होंने समस्या कैसे हल की, उन्हें कहाँ उलझन हुई और अगली बार वे क्या आज़माएँगे। इसका मुख्य उद्देश्य है:
- A बच्चों को अपने गणितीय चिंतन पर विचार करने और उसे अपने शब्दों में व्यक्त करने में मदद करना
- B कॉपी में नियमित लेखन से बच्चों की लिखावट सुधारना
- C हर बच्चे की प्रविष्टियों से सत्रांत परीक्षा के लिए अंक जुटाना
- D यह सुनिश्चित करना कि हर बच्चा बाद में दोहराने के लिए शिक्षक का हल अपनी डायरी में सही-सही उतारे
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सही उत्तर: (A) बच्चों को अपने गणितीय चिंतन पर विचार करने और उसे अपने शब्दों में व्यक्त करने में मदद करना
अपनी विधियों के बारे में लिखने से बच्चे अपना तर्क व्यवस्थित करते और समझाते हैं, और शिक्षक को उनके सोचने का ढंग पता चलता है। इससे गणितीय संप्रेषण और चिंतन विकसित होता है, लिखावट या नकल नहीं।
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Q.75
पाठ योजना के हरबर्टीय उपागम में पाँच औपचारिक चरणों का सही क्रम है:
- A प्रस्तुतीकरण, तैयारी, सामान्यीकरण, साहचर्य (तुलना), अनुप्रयोग
- B तैयारी, साहचर्य (तुलना), प्रस्तुतीकरण, अनुप्रयोग, सामान्यीकरण
- C सामान्यीकरण, तैयारी, प्रस्तुतीकरण, साहचर्य (तुलना), अनुप्रयोग
- D तैयारी, प्रस्तुतीकरण, साहचर्य (तुलना), सामान्यीकरण, अनुप्रयोग
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सही उत्तर: (D) तैयारी, प्रस्तुतीकरण, साहचर्य (तुलना), सामान्यीकरण, अनुप्रयोग
हरबर्ट के चरण हैं तैयारी (प्रस्तावना), नई सामग्री का प्रस्तुतीकरण, ज्ञात विचारों से साहचर्य या तुलना, नियम का सामान्यीकरण, और अनुप्रयोग। पुनरावृत्ति को प्रायः छठे चरण के रूप में जोड़ा जाता है।
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Q.76
एक शिक्षक एक पूर्ण की पट्टी के पास 1/2 की तीन भिन्न-पट्टियाँ सिरे से सिरा मिलाकर रखता है। इससे बच्चे देख पाते हैं कि:
- A सभी भिन्न एक से छोटी होती हैं, इसलिए 3/2 कोई भिन्न नहीं है
- B 1/2, 1 से बड़ा है, क्योंकि तीन आधे पूर्ण से लंबे हैं
- C आधों को तभी जोड़ा जा सकता है जब वे अलग-अलग पूर्णों के हों
- D भिन्न एक पूर्ण से अधिक भी हो सकती है: 3/2 = 1 1/2
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सही उत्तर: (D) भिन्न एक पूर्ण से अधिक भी हो सकती है: 3/2 = 1 1/2
तीन आधे एक पूरी पट्टी और दूसरी का आधा ढकते हैं, इसलिए 3/2 = 1 1/2। यह इस आम धारणा को चुनौती देता है कि भिन्न हमेशा एक पूर्ण से छोटा भाग होती है, और विषम भिन्नों तथा मिश्रित भिन्नों को अर्थपूर्ण ढंग से प्रस्तुत करता है।
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Q.77
एक शिक्षक विद्यार्थियों की समस्या समाधान प्रक्रिया का मूल्यांकन करना चाहता है, केवल अंतिम उत्तर का नहीं। सबसे उपयुक्त साधन है:
- A प्रत्येक समस्या के लिए एक ही सही विकल्प वाला बहुविकल्पीय परीक्षण, जिसे मशीन या उत्तर-कुंजी से जल्दी जाँचा जाए
- B 10 मिनट में 50 सवालों का गति परीक्षण, जिसमें हर सही अंतिम उत्तर पर एक अंक और कोई आंशिक अंक नहीं
- C मानक विधियों के चरणों पर सही-गलत प्रश्नोत्तरी
- D एक रूब्रिक जो समस्या समझने, रणनीति चुनने, उसे लागू करने और परिणाम जाँचने के लिए अंक देता है
उत्तर देखें
सही उत्तर: (D) एक रूब्रिक जो समस्या समझने, रणनीति चुनने, उसे लागू करने और परिणाम जाँचने के लिए अंक देता है
समस्या समाधान के हर चरण के मानदंड वाला रूब्रिक शिक्षक को प्रक्रिया का मूल्यांकन करने देता है। बहुविकल्पीय और गति परीक्षण केवल अंतिम उत्तर पकड़ते हैं।
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Q.78
एक शिक्षक तिथि सहित एक छोटा नोट लिखता है: 'आशा (कक्षा 2) ने आज 34 तीलियाँ गिनते समय बिना बताए स्वयं दस तीलियों का बंडल बनाया।' ऐसा अभिलेख कहलाता है:
- A उपाख्यानात्मक अभिलेख (anecdotal record)
- B निर्धारण मापनी (rating scale)
- C मानकीकृत उपलब्धि परीक्षण (achievement test)
- D संचयी अभिलेख (cumulative record)
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) उपाख्यानात्मक अभिलेख (anecdotal record)
उपाख्यानात्मक अभिलेख बच्चे के अधिगम की किसी महत्त्वपूर्ण घटना का संक्षिप्त, तथ्यात्मक वर्णन है, जो घटना के तुरंत बाद लिखा जाता है। निर्धारण मापनी किसी गुण को निश्चित स्तरों पर आँकती है, और संचयी अभिलेख कई वर्षों की प्रगति का सारांश होता है।
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Q.79
एक बच्ची को लकड़ी के 8 लाल और 3 पीले मनके दिखाए जाते हैं। पूछने पर कि 'लाल मनके अधिक हैं या लकड़ी के मनके?', वह कहती है, 'लाल मनके अधिक हैं।' पियाजे के अनुसार उसमें अभी किसका विकास नहीं हुआ है?
- A वस्तु स्थायित्व (object permanence)
- B आयतन का संरक्षण
- C परिकल्पनात्मक-निगमनात्मक तर्कणा
- D वर्ग-समावेशन (class inclusion)
उत्तर देखें
सही उत्तर: (D) वर्ग-समावेशन (class inclusion)
वर्ग-समावेशन यह समझ है कि उपवर्ग (लाल मनके) एक बड़े वर्ग (लकड़ी के मनके) का भाग है, इसलिए पूर्ण किसी भाग से छोटा नहीं हो सकता। पियाजे ने इसे मूर्त संक्रियात्मक अवस्था में रखा, और संख्या में अंश-पूर्ण तर्क इसी पर टिका है।
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Q.80
n वर्गों की एक पंक्ति बनाने में लगने वाली माचिस की तीलियों की संख्या के लिए तीन समूह 3n + 1, 4 + 3(n − 1) और 4n − (n − 1) लिखते हैं। शिक्षक की सबसे अच्छी प्रतिक्रिया है:
- A केवल 3n + 1 स्वीकार करना, क्योंकि पाठ्यपुस्तक में यही रूप दिया है
- B हर समूह से चित्र के आधार पर उसका नियम समझवाना, फिर दिखाना कि तीनों सरल होकर 3n + 1 बनते हैं
- C कक्षा को बताना कि तीनों में से केवल एक ही सही हो सकता है, और यह तय करने के लिए मतदान करवाना
- D पहले दो स्वीकार करना पर 4n − (n − 1) को अस्वीकार करना, क्योंकि उसमें कोष्ठक के अंदर घटाव है
उत्तर देखें
सही उत्तर: (B) हर समूह से चित्र के आधार पर उसका नियम समझवाना, फिर दिखाना कि तीनों सरल होकर 3n + 1 बनते हैं
हर व्यंजक एक ही पैटर्न को देखने का अलग तरीका दर्ज करता है (पहले वर्ग के लिए 4 तीलियाँ और हर नए वर्ग के लिए 3, या हर वर्ग की 4 तीलियाँ घटा साझा n − 1 तीलियाँ), और तीनों 3n + 1 के बराबर हैं। इनकी तुलना से तुल्य व्यंजकों का विचार और संरचना से नियम का औचित्य देने की आदत बनती है।
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Q.81
ज़ोल्टन डीन्स का मत था कि किसी गणितीय अवधारणा का अधिगम चक्रों में होता है: पहले सामग्री के साथ स्वतंत्र, असंरचित खेल, फिर संरचित गतिविधियाँ, और फिर अभ्यास व अनुप्रयोग। यह उनका कौन-सा सिद्धांत है?
- A रचनात्मकता सिद्धांत
- B गतिशील सिद्धांत
- C गणितीय परिवर्तनशीलता सिद्धांत
- D प्रत्यक्षात्मक परिवर्तनशीलता सिद्धांत
उत्तर देखें
सही उत्तर: (B) गतिशील सिद्धांत
डीन्स का गतिशील सिद्धांत अधिगम को प्रारंभिक (खेल) गतिविधि से संरचित गतिविधि और फिर अभ्यास की ओर बढ़ता हुआ बताता है, जिसमें खेल प्रारंभ-बिंदु है। रचनात्मकता सिद्धांत विश्लेषण से पहले रचना की बात करता है।
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Q.82
भाग में लगातार कठिनाई वाले बच्चे की सहायता के लिए इन चरणों को सही क्रम में लगाइए:
(i) अलग उपागम से उपचारात्मक शिक्षण
(ii) प्रगति जाँचने के लिए पुनः आकलन
(iii) नियमित कक्षा कार्य से बच्चे की पहचान
(iv) कठिनाई के विशिष्ट कारण का निदान
- A (iv), (iii), (i), (ii)
- B (iii), (i), (iv), (ii)
- C (iii), (iv), (i), (ii)
- D (i), (iii), (iv), (ii)
उत्तर देखें
सही उत्तर: (C) (iii), (iv), (i), (ii)
शिक्षक पहले पहचानता है कि कौन कठिनाई में है, फिर निदान करता है कि ठीक कहाँ और क्यों, फिर उस कारण के लिए उपचारात्मक शिक्षण की योजना बनाता है, और अंत में पुनः आकलन करके देखता है कि कठिनाई दूर हुई या नहीं। निदान से पहले उपचारात्मक शिक्षण केवल अनुमान है।
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Q.83
एक विद्यार्थी मानती है कि यदि वर्ग की हर भुजा दोगुनी कर दी जाए तो उसका क्षेत्रफल भी दोगुना हो जाता है। कौन-सी गतिविधि उसकी सबसे अधिक सहायता करेगी?
- A सूत्र 'क्षेत्रफल = भुजा × भुजा' कई बार ज़ोर से दोहराना
- B 2 सेमी और 4 सेमी वाले वर्गों के परिमाप निकालकर उनकी आपस में तुलना करना
- C वर्गांकित कागज़ पर 2 सेमी और 4 सेमी के वर्ग बनाकर इकाई वर्ग गिनना
- D शिक्षक को बोर्ड पर दोनों वर्गों के क्षेत्रफल चरण-दर-चरण निकालते देखना
उत्तर देखें
सही उत्तर: (C) वर्गांकित कागज़ पर 2 सेमी और 4 सेमी के वर्ग बनाकर इकाई वर्ग गिनना
गिनने पर 4 और 16 इकाई वर्ग मिलते हैं, अर्थात क्षेत्रफल दोगुना नहीं, चार गुना होता है। परिमाप की तुलना केवल दोगुना होना दिखाएगी और भ्रांति को पक्का कर सकती है, क्योंकि परिमाप सचमुच दोगुना होता है।
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Q.84
दशमलव पढ़ाने के लिए एक शिक्षक आधार-दस ब्लॉकों की पट्टी (flat) को एक पूर्ण मानता है। बच्चों को 1.23 कैसे दिखाना चाहिए?
- A 1 पट्टी, 2 छड़ें और 3 छोटे घन
- B 1 छोटा घन, 2 छड़ें और 3 पट्टियाँ
- C 12 छड़ें और 3 पट्टियाँ
- D 1 छड़, 2 पट्टियाँ और 3 छोटे घन
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) 1 पट्टी, 2 छड़ें और 3 छोटे घन
यदि पट्टी 1 है, तो छड़ (पट्टी का दसवाँ भाग) 0.1 है और छोटा घन (सौवाँ भाग) 0.01 है, इसलिए 1.23 = 1 पट्टी, 2 छड़ें और 3 घन। इस प्रकार पूर्ण को फिर से परिभाषित करना दिखाता है कि दशमलव बिंदु के दाईं ओर भी वही दस-आधारित विनिमय काम करता है।
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Q.85
संख्या रेखा पर 3 − 7 ज्ञात करने के लिए एक विद्यार्थी 7 से शुरू करके 3 कदम बाईं ओर चलता है और 4 पाता है। शिक्षक को चाहिए कि वह:
- A उत्तर स्वीकार करे, क्योंकि घटाव किसी भी क्रम में किया जा सकता है
- B उसे बताए कि 3 − 7 हो ही नहीं सकता, क्योंकि छोटी संख्या में से बड़ी संख्या कभी नहीं घटाई जा सकती
- C उससे रटवाए कि ऐसे घटाव का उत्तर सदा 4 होता है, चाहे कोई भी संख्या पहले आए
- D उसे 3 से शुरू कर 7 कदम बाईं ओर चलकर −4 तक पहुँचने में मदद करे, और 7 − 3 = 4 से तुलना करवाए
उत्तर देखें
सही उत्तर: (D) उसे 3 से शुरू कर 7 कदम बाईं ओर चलकर −4 तक पहुँचने में मदद करे, और 7 − 3 = 4 से तुलना करवाए
घटाव क्रमविनिमेय नहीं है: 3 − 7 = −4 जबकि 7 − 3 = 4। 'छोटी संख्या में से बड़ी नहीं घटती' वाला नियम केवल पूर्ण संख्याओं में लागू होता है और पूर्णांक आने पर उसे बदलना पड़ता है।
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Q.86
निम्नलिखित में से कौन-सा गणित की प्रकृति की विशेषता नहीं है?
- A यह क्रमबद्ध (hierarchical) है: दशमलव जैसी बाद की अवधारणाएँ स्थानीय मान जैसी पहले की अवधारणाओं पर निर्भर करती हैं
- B यह परिशुद्ध प्रतीकों और पदों का उपयोग करता है जिनके अर्थ सहमत और निश्चित होते हैं
- C इसके परिणाम प्रमाण से नहीं बल्कि बार-बार के अनुभवजन्य अवलोकन से स्थापित होते हैं
- D यह अमूर्त है और भौतिक वस्तुओं के बजाय संख्या व आकार जैसे विचारों से संबंधित है
उत्तर देखें
सही उत्तर: (C) इसके परिणाम प्रमाण से नहीं बल्कि बार-बार के अनुभवजन्य अवलोकन से स्थापित होते हैं
गणित निगमनात्मक है: परिणाम परिभाषाओं और अभिगृहीतों से तार्किक रूप से सिद्ध किए जाते हैं, प्रयोग से सत्यापित नहीं। क्रमबद्ध, प्रतीकात्मक, परिशुद्ध और अमूर्त होना इसकी स्वीकृत विशेषताएँ हैं।
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Q.87
ब्लूम की संशोधित वर्गिकी के अनुसार, निम्नलिखित में से कौन-सा प्रश्न 'सृजन' (create) स्तर का है?
- A दैनिक जीवन से एक ऐसी शब्द-समस्या लिखो जो 24 भाग 6 से हल हो सके।
- B 24 भाग 6 कितना है? अपनी गणना दिखाओ।
- C आयत के क्षेत्रफल का सूत्र बताओ और वह इकाई लिखो जिसमें क्षेत्रफल मापा जाता है।
- D क्या 24, 6 से विभाज्य है? विभाज्यता के नियम से कारण दो।
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) दैनिक जीवन से एक ऐसी शब्द-समस्या लिखो जो 24 भाग 6 से हल हो सके।
विद्यार्थियों से अपनी समस्या बनवाना तत्वों को जोड़कर कुछ नया बनाना है, जो 'सृजन' स्तर है। 24 / 6 निकालना 'अनुप्रयोग' या 'याद करना' है, और सूत्र बताना 'याद करना' है।
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Q.88
गणित शिक्षण पर NCERT का पोज़िशन पेपर 'भय और असफलता' को एक मुख्य समस्या बताता है। कक्षा की कौन-सी प्रथा इस भय को उत्पन्न करने की सबसे अधिक संभावना रखती है?
- A बच्चों को छोटे समूहों में किसी समस्या को हल करने के कई तरीकों पर चर्चा करने देना
- B प्रतीकों से पहले मनकों और तीलियों जैसी मूर्त सामग्री का उपयोग करना
- C गति, एक ही सही प्रक्रिया और अंकों की सार्वजनिक तुलना पर ज़ोर देना
- D सटीक गणना से पहले बच्चों को उत्तर का आकलन (अनुमान) करने के लिए प्रोत्साहित करना
उत्तर देखें
सही उत्तर: (C) गति, एक ही सही प्रक्रिया और अंकों की सार्वजनिक तुलना पर ज़ोर देना
गणित का भय गति पर ज़ोर, एक ही सही प्रक्रिया की तानाशाही और अंकों को लेकर अपमान से उत्पन्न होता है। बाकी तीन प्रथाएँ NCF 2005 द्वारा गणित को आनंददायक बनाने के लिए अनुशंसित हैं।
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Q.89
निम्नलिखित में से कौन-सा दोहराने वाला (repeating) नहीं, बल्कि बढ़ने वाला (growing) पैटर्न है?
- A लाल, नीला, लाल, नीला, ...
- B 1, 3, 5, 7, 9, ...
- C △, ○, ○, △, ○, ○, ...
- D ताली, ताली, पैर पटकना, ताली, ताली, पैर पटकना, ...
उत्तर देखें
सही उत्तर: (B) 1, 3, 5, 7, 9, ...
दोहराने वाले पैटर्न में एक निश्चित इकाई (core) बार-बार आती है; बढ़ने वाले पैटर्न में हर पद किसी नियम से बदलता है, यहाँ 2 जोड़कर। प्रारंभिक कक्षाओं में दोहराने वाले पैटर्न प्रायः पहले आते हैं, और बढ़ने वाले पैटर्न सामान्यीकरण तथा प्रारंभिक बीजगणित की ओर ले जाते हैं।
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Q.90
एक बच्चा दो-चरण वाली शब्द-समस्या अकेले हल नहीं कर पाता, पर जब शिक्षक 'हमें पहले क्या निकालना है?' जैसे मार्गदर्शक प्रश्न पूछता है तो हल कर लेता है। वाइगोत्स्की के शब्दों में शिक्षक बच्चे के किस क्षेत्र में कार्य कर रहा है?
- A समीपस्थ विकास क्षेत्र (ZPD) में, स्कैफोल्डिंग के माध्यम से
- B मूर्त संक्रियात्मक अवस्था में, हाथ से किए जाने वाले कार्यों द्वारा
- C वास्तविक विकास क्षेत्र में, स्व-सुधार के माध्यम से
- D निरूपण के चित्रात्मक रूप में, चित्रों के माध्यम से
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) समीपस्थ विकास क्षेत्र (ZPD) में, स्कैफोल्डिंग के माध्यम से
समीपस्थ विकास क्षेत्र वह अंतर है जो बच्चा अकेले कर सकता है और जो मार्गदर्शन से कर सकता है; शिक्षक के मार्गदर्शक प्रश्न उसी क्षेत्र में स्कैफोल्डिंग हैं।
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Q.91
कक्षा 5 का एक विद्यार्थी कहता है कि 1/5, 1/3 से बड़ा है क्योंकि 5, 3 से बड़ा है। यह त्रुटि दर्शाती है कि विद्यार्थी:
- A अंश को हर से भ्रमित कर रहा है और इसलिए हर भिन्न को उलटा पढ़ रहा है
- B पाठ्यपुस्तक में a/b रूप में लिखी भिन्नें पढ़ नहीं पा रहा है
- C हर का अर्थ समझे बिना भिन्नों पर पूर्ण-संख्या तर्क लागू कर रहा है
- D सही है, क्योंकि अंश बराबर होने पर बड़ा हर हमेशा बड़ी भिन्न देता है
उत्तर देखें
सही उत्तर: (C) हर का अर्थ समझे बिना भिन्नों पर पूर्ण-संख्या तर्क लागू कर रहा है
बच्चा पूर्ण संख्याओं का नियम 'बड़ी संख्या यानी बड़ा मान' भिन्नों पर स्थानांतरित कर रहा है। भिन्न पट्टियाँ या कागज़ मोड़ना बच्चे को दिखाता है कि अधिक भागों में बाँटने से हर भाग छोटा होता है।
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Q.92
गणित शिक्षण पर NCF 2005 के दृष्टिकोण में एल्गोरिद्म और समझ के संबंध का सही वर्णन कौन-सा कथन करता है?
- A एल्गोरिद्म समझ पर आधारित हों; बिना अर्थ के सिखाई गई प्रक्रियाएँ रटंत अधिगम और भय पैदा करती हैं
- B पहले नियमित ड्रिल द्वारा मानक एल्गोरिद्म में पूरी महारत होनी चाहिए, समझ बाद में अपने आप आ जाएगी
- C प्राथमिक स्तर पर एल्गोरिद्म कभी नहीं सिखाने चाहिए, केवल उच्च प्राथमिक स्तर पर
- D बच्चों को हर संक्रिया के लिए केवल एक एल्गोरिद्म सीखना चाहिए, कोई वैकल्पिक रणनीति नहीं जो उन्हें भ्रमित करे
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) एल्गोरिद्म समझ पर आधारित हों; बिना अर्थ के सिखाई गई प्रक्रियाएँ रटंत अधिगम और भय पैदा करती हैं
NCF 2005 बिना समझ के प्रक्रिया पर ज़ोर की आलोचना करता है। एल्गोरिद्म उपयोगी हैं पर उन्हें अवधारणात्मक समझ से उभरना और जुड़ना चाहिए, और बच्चों की अपनी रणनीतियों का सम्मान होना चाहिए।
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Q.93
कक्षा 6 की विद्यार्थी सीमा कहती है, 'मैं गणित के लिए बनी ही नहीं हूँ।' शिक्षक की सबसे सहायक प्रतिक्रिया है:
- A प्यार से सहमत होना और उसे उन दूसरे विषयों पर ध्यान देने को कहना जिनमें वह अच्छी है
- B उसे पुस्तक के सबसे कठिन प्रश्न देना ताकि वह स्वयं को सिद्ध कर सके
- C उसे प्रेरित करने के लिए उसके अंकों की तुलना कक्षा में अच्छा करने वाले सहपाठी से करना
- D प्रयास से सफल होने योग्य कार्य देना, उसकी रणनीतियाँ सराहना और गलतियों को सामान्य मानना
उत्तर देखें
सही उत्तर: (D) प्रयास से सफल होने योग्य कार्य देना, उसकी रणनीतियाँ सराहना और गलतियों को सामान्य मानना
यह विश्वास कि गणित की योग्यता स्थिर है, चिंता और टालने की प्रवृत्ति को बढ़ाता है। प्रयास से मिली सफलता, उसकी अपनी सोच की सराहना और ऐसी कक्षा जहाँ त्रुटियाँ सामान्य हों, आत्मविश्वास लौटाती है; तुलना और बहुत कठिन कार्य भय को गहरा करते हैं।
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Q.94
गणित शिक्षण की निगमन विधि के बारे में कौन-सा कथन सही है?
- A यह विशिष्ट उदाहरणों से शुरू होकर शिक्षार्थी को क्रम से किसी सामान्य नियम या सूत्र की खोज तक ले जाती है
- B यह छोटे बच्चों को नई अवधारणा से परिचित कराने की सर्वोत्तम विधि है, क्योंकि यह तेज़, सटीक और पूर्ण है
- C यह पहले नियम बताती है और फिर उसे उदाहरणों पर लागू करती है; समय बचाती है पर अपने आप समझ नहीं बनाती
- D यह ह्यूरिस्टिक विधि के समान ही है, क्योंकि दोनों में शिक्षार्थी स्वयं नियम खोजता है
उत्तर देखें
सही उत्तर: (C) यह पहले नियम बताती है और फिर उसे उदाहरणों पर लागू करती है; समय बचाती है पर अपने आप समझ नहीं बनाती
निगमन विधि सामान्य नियम से विशिष्ट मामलों की ओर चलती है। यह तेज़ है और अभ्यास व बड़े विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, पर नई अवधारणाओं के परिचय में यह आगमनात्मक खोज के बाद आनी चाहिए, उसकी जगह नहीं लेनी चाहिए।
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Q.95
4x + 5 = 25 को हल करने की व्यवस्थित विधि पढ़ाने से पहले शिक्षक विद्यार्थियों से एक सारणी में x = 1, 2, 3, ... रखकर हर बार दोनों पक्ष जाँचने को कहता है। इसका मुख्य उद्देश्य उन्हें यह समझाना है:
- A कि प्रयास और त्रुटि किसी भी समीकरण को हल करने का सदा सबसे तेज़ और अच्छा तरीका है
- B हल क्या है: x का वह मान जो दोनों पक्षों को बराबर करता है, यहाँ x = 5
- C कि समीकरण केवल अनुमान से, बिना किसी भी तर्क के, सीधे हल किए जा सकते हैं
- D 4 × 10 तक 4 का पहाड़ा, जो हर पंक्ति की जाँच के लिए चाहिए
उत्तर देखें
सही उत्तर: (B) हल क्या है: x का वह मान जो दोनों पक्षों को बराबर करता है, यहाँ x = 5
मान रखकर देखने से समझ आता है कि हल वह मान है जो समीकरण को संतुलित करता है (4 × 5 + 5 = 25)। कठिन समीकरणों में इस विधि का धीमापन फिर व्यवस्थित विधि की आवश्यकता जगाता है।
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Q.96
एक विद्यार्थी 2³ × 2⁴ = 2¹² लिखती है। कौन-सा उपागम उसकी सबसे अधिक मदद करता है?
- A उसे 'घातांक जोड़ो' वाला नियम बताकर उसे पक्का याद करने के लिए बीस अभ्यास के सवाल देना
- B उसे घातांकों के साथ-साथ आधारों को भी आपस में गुणा करने को कहना, जिससे उत्तर 4¹² आए
- C दोनों को विस्तारित रूप में लिखना: (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) में सात 2 हैं, अतः 2⁷
- D उत्तर स्वीकार करना, क्योंकि 3 × 4 = 12 और घातांक सदा गुणा होते हैं
उत्तर देखें
सही उत्तर: (C) दोनों को विस्तारित रूप में लिखना: (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) में सात 2 हैं, अतः 2⁷
विस्तारित रूप में गुणनखंड गिनने से पता चलता है कि एक ही आधार की घातों के गुणन में घातांक क्यों जुड़ते हैं: 8 × 16 = 128 = 2⁷, जबकि 2¹² = 4096। तब नियम अर्थ से आता है, स्मृति से नहीं।
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Q.97
वृत्त का क्षेत्रफल विकसित करने के लिए कक्षा 7 का शिक्षक कागज़ के एक वृत्त को अनेक बराबर त्रिज्यखंडों में काटकर उन्हें बारी-बारी से ऊपर और नीचे नोक करके लगभग आयत जैसी आकृति में जमाता है। इस 'आयत' की:
- A लंबाई लगभग आधी परिधि (πr) और चौड़ाई त्रिज्या (r), अतः क्षेत्रफल लगभग πr² है
- B लंबाई पूरी परिधि (2πr) और चौड़ाई त्रिज्या के बराबर है, अतः क्षेत्रफल लगभग 2πr² है
- C लंबाई व्यास और चौड़ाई त्रिज्या के बराबर है, अतः क्षेत्रफल 2r² है
- D लंबाई और चौड़ाई दोनों त्रिज्या के बराबर हैं
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) लंबाई लगभग आधी परिधि (πr) और चौड़ाई त्रिज्या (r), अतः क्षेत्रफल लगभग πr² है
आधे चाप हर लंबी भुजा बनाते हैं, इसलिए हर लंबी भुजा 2πr की आधी, यानी πr है, और छोटी भुजा त्रिज्या है। त्रिज्यखंड जितने अधिक, आकृति आयत के उतनी निकट, इसीलिए वृत्त का क्षेत्रफल πr × r = πr² है।
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Q.98
प्रत्येक चरण का मिलान उस बल से कीजिए जो NCF 2005 उस चरण पर गणित में देता है।
P. पूर्व-प्राथमिक Q. प्राथमिक R. उच्च प्राथमिक S. माध्यमिक
i. एक अनुशासन के रूप में गणित की संरचना; प्रमाण
ii. एक समय में एक ही आयाम के आधार पर सरल तुलना और वर्गीकरण; आकृतियों और सममितियों की पहचान
iii. बीजीय संकेतन; स्थान और आकृतियों का व्यवस्थित अध्ययन
iv. मूर्त से अमूर्त की ओर स्पष्ट प्रगति; समस्या समाधान में अनुमान और सन्निकटन
- A P-iv, Q-ii, R-iii, S-i
- B P-ii, Q-iii, R-iv, S-i
- C P-ii, Q-iv, R-i, S-iii
- D P-ii, Q-iv, R-iii, S-i
उत्तर देखें
सही उत्तर: (D) P-ii, Q-iv, R-iii, S-i
NCF 2005 पूर्व-प्राथमिक स्तर पर एक समय में एक आयाम के आधार पर सरल तुलना और वर्गीकरण तथा आकृतियों और सममितियों की पहचान, प्राथमिक स्तर पर मूर्त से अमूर्त की ओर स्पष्ट प्रगति और समस्या समाधान में अनुमान व सन्निकटन, उच्च प्राथमिक स्तर पर बीजीय संकेतन और स्थान व आकृतियों के व्यवस्थित अध्ययन, तथा माध्यमिक स्तर पर एक अनुशासन के रूप में गणित की संरचना और औचित्य व प्रमाण पर बल देता है।
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Q.99
8 + 4 = __ + 5 में रिक्त स्थान भरने को कहने पर कक्षा के अधिकांश बच्चे 12 लिखते हैं। यह त्रुटि दर्शाती है कि वे:
- A बराबर चिह्न को संतुलन या समतुल्यता का प्रतीक नहीं, बल्कि 'अब उत्तर आता है' समझते हैं
- B नहीं जानते कि 8 + 4 बराबर 12 है और रिक्त स्थान का अनुमान लगा रहे हैं
- C तीन संख्याएँ एक साथ नहीं जोड़ सकते, इसलिए वे केवल पहली दो संख्याएँ जोड़कर ही रुक जाते हैं
- D जोड़ का क्रमविनिमेय गुण समझ चुके हैं और उसे समीकरण के दोनों पक्षों पर सही ढंग से लागू कर रहे हैं
उत्तर देखें
सही उत्तर: (A) बराबर चिह्न को संतुलन या समतुल्यता का प्रतीक नहीं, बल्कि 'अब उत्तर आता है' समझते हैं
बच्चे प्रायः '=' को गणना करने का निर्देश मानते हैं, 'के समान है' नहीं। सही उत्तर 7 है, और तराजू बच्चों को दोनों पक्षों को समान मात्राओं के रूप में देखने में मदद करता है।
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Q.100
कक्षा 4 की एक बच्ची भिन्न-पट्टियों से भिन्नों को सही जोड़ लेती है, पर प्रतीकों में लिखे 1/4 + 2/4 को देखकर उलझ जाती है। मूर्त-चित्रात्मक-अमूर्त उपागम के अनुसार शिक्षक को:
- A ज़ोर देना चाहिए कि वह 'अंश जोड़ो, हर वही रखो' नियम याद करे
- B पट्टियों या चित्र पर लौटकर हर चरण को प्रतीकों से जोड़ना चाहिए
- C उलझन मिटने तक उसे और प्रतीकात्मक प्रश्न देने चाहिए
- D आगे बढ़ जाना चाहिए, क्योंकि वह पट्टियों से समझ दिखा चुकी है
उत्तर देखें
सही उत्तर: (B) पट्टियों या चित्र पर लौटकर हर चरण को प्रतीकों से जोड़ना चाहिए
CPA उपागम एक-दिशा वाली सीढ़ी नहीं है: जब प्रतीक अभी सार्थक न हों, तो शिक्षक मूर्त या चित्रात्मक रूप पर लौटकर उन्हें स्पष्ट रूप से प्रतीकों से जोड़ता है। इस जुड़ाव के बिना सीखा गया नियम आसानी से गलत लागू होता है।
ये प्रश्न कैसे बने
एक AI सहायक (Claude) ने स्थिर, सुस्थापित तथ्यों के अपने सामान्य ज्ञान से अंग्रेज़ी में लिखा और हिंदी में अनुवाद किया (कोई लाइव खोज नहीं) - किसी विषय-विशेषज्ञ या हिंदी मातृभाषी ने इसकी समीक्षा नहीं की है; किसी तथ्य पर भरोसा करने से पहले आधिकारिक स्रोत से मिला लें।