Pariksha Saathi8 में से पाठ 3 · गणित, कक्षा VI-VIII (पेपर II)
बीजगणित: व्यंजक, रैखिक समीकरण, सर्वसमिकाएँ और गुणनखंडन
AI की सहायता से तैयार किया गया और 28 अक्टूबर 2026 को तथ्यों की जाँच की गई; किसी मानव संपादक ने इसे अभी पंक्ति-दर-पंक्ति नहीं पढ़ा है। कोई गलती दिखे तो हमें बताइए। संपादकीय मानक और सुधार
चर और व्यंजक
चर वह अक्षर है जो भिन्न-भिन्न मान ले सकता है, जबकि अचर का मान निश्चित होता है। कक्षा VI का बीजगणित प्रतिरूपों से शुरू होता है: तीलियों से बने n अक्षर L के लिए 2n तीलियाँ और n अक्षर C के लिए 3n तीलियाँ चाहिए। व्यंजक 5xy² − 3x²y + 7 में पद 5xy², −3x²y और 7 हैं, xy² का संख्यात्मक गुणांक 5 है और 7 अचर पद है; एक, दो और तीन पदों वाले व्यंजक क्रमशः एकपदी, द्विपद और त्रिपद कहलाते हैं। समान पदों में वही चर उन्हीं घातों के साथ होते हैं (7ab और −2ba समान पद हैं; 3x²y और 3xy² नहीं), और केवल समान पदों को जोड़ा जा सकता है। शब्दों को बीजीय रूप में लिखते समय सावधानी चाहिए: 'किसी संख्या के दुगुने से 5 कम' 2x − 5 है, 5 − 2x नहीं।
व्यंजकों पर संक्रियाएँ
किसी व्यंजक को घटाने पर उसके हर पद का चिह्न बदल जाता है: (7x² − 4x + 2) − (3x² + x − 6) = 4x² − 5x + 8। गुणन में गुणांक आपस में गुणा होते हैं और एक ही चर की घातें जुड़ती हैं: (−3x²y) × (4xy³) = −12x³y⁴। एक कोष्ठक का हर पद दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा होता है: (2x + 3)(x − 5) = 2x² − 10x + 3x − 15 = 2x² − 7x − 15, जिसकी जाँच x = 1 रखकर की जा सकती है (5 × (−4) = −20 और 2 − 7 − 15 = −20)।
एक चर वाले रैखिक समीकरण
रैखिक समीकरण में चर की घात केवल 1 होती है, और उसका हल वह मान है जिससे दोनों पक्ष बराबर हो जाएँ। एक पक्ष पर जो संक्रिया की जाए, वही दूसरे पक्ष पर भी की जाती है; चिह्न बदलकर किसी पद का पक्षांतरण इसी का संक्षिप्त रूप है। जब चर दोनों पक्षों में हो, तो उसे एक ओर एकत्र करें: 5x − 3 = 3x + 7 से 2x = 10 और x = 5। भिन्नों वाले समीकरण को हरों के LCM से गुणा करें: x/2 − 1/5 = x/3 + 1/4 को 60 से गुणा करने पर 30x − 12 = 20x + 15, अतः 10x = 27 और x = 27/10, जब दोनों पक्ष 23/20 के बराबर होते हैं। इसी प्रकार (6x + 1)/3 + 1 = (x − 3)/6 को 6 से गुणा करने पर 12x + 2 + 6 = x − 3, अतः 11x = −11 और x = −1।
शाब्दिक प्रश्न
अज्ञात राशि को कोई नाम दें, शब्दों में बताया गया समीकरण लिखें, उसे हल करें और उत्तर को प्रश्न की स्थिति से जाँचें। 8 के तीन क्रमागत गुणजों का योग 888 है: 8x, 8(x + 1) और 8(x + 2) लेने पर 24x + 24 = 888, अतः x = 36 और संख्याएँ 288, 296 और 304 हैं। दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है और अंकों को आपस में बदलने पर संख्या 27 बढ़ जाती है; इकाई का अंक b हो तो संख्या 10(9 − b) + b है, शर्त से 18b − 81 = 27, अतः b = 6 और संख्या 36 है।
बीजीय सर्वसमिकाएँ
सर्वसमिका अपने चरों के हर मान के लिए सत्य होती है, जबकि समीकरण केवल कुछ विशेष मानों के लिए। कक्षा VIII की सर्वसमिकाएँ हैं (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², (a + b)(a − b) = a² − b² और (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab। ये कठिन गणनाओं को सरल बना देती हैं: 103² = 10,000 + 600 + 9 = 10,609; 99² = 10,000 − 200 + 1 = 9,801; 197 × 203 = 200² − 3² = 39,991; और 51² − 49² = 100 × 2 = 200। सबसे आम भूल (a + b)² = a² + b² है, जो a = 1 और b = 2 रखने पर गलत सिद्ध हो जाती है (9 बनाम 5); a + b भुजा वाला वर्ग ab क्षेत्रफल वाले वे दो आयत दिखा देता है जो छूट गए थे।
गुणनखंडन
गुणनखंडन किसी व्यंजक को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखना है, जो प्रसार की उलटी क्रिया है। उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें: 12a²b + 15ab² = 3ab(4a + 5b)। जब सभी पदों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो, तो पदों को पुनः समूहित करें: 2xy + 2y + 3x + 3 = 2y(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(2y + 3)। सर्वसमिकाओं को पहचानें: x² + 8x + 16 = (x + 4)², 4y² − 12y + 9 = (2y − 3)² और 49p² − 36 = (7p − 6)(7p + 6)। x² + px + q के लिए ऐसी दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल q और योग p हो: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3), y² − 7y + 12 = (y − 3)(y − 4) और z² − 4z − 12 = (z − 6)(z + 2)।
कक्षा में
जो बच्चे 3a को 'तीन सेब' पढ़ते हैं, वे अक्षर को संख्या के स्थान पर वस्तु मान लेते हैं, और फिर 3x + 5x = 8x², 3 + 2x = 5x या (2a)² = 2a² लिखते हैं। शिक्षक उनसे ऐसी भूलें ढूँढ़कर सुधारने को कहते हैं (x + 2x + 3x = 6x है, 5x नहीं), हर नियम को कोई संख्या रखकर जाँचने को कहते हैं, और गुणनफलों व सर्वसमिकाओं के लिए बीजीय टाइलों या क्षेत्रफल चित्रों का प्रयोग करते हैं।
मुख्य तथ्य
- समान पद: 7ab और −2ba समान पद हैं; 3x²y और 3xy² असमान पद हैं, इसलिए 3x²y + 3xy² को और सरल नहीं किया जा सकता।
- 'किसी संख्या के दुगुने से 5 कम' = 2x − 5; 'किसी संख्या में से 5 घटाकर प्राप्त परिणाम को दुगुना करना' = 2(x − 5)।
- व्यंजकों का व्यवकलन और गुणन: (7x² − 4x + 2) − (3x² + x − 6) = 4x² − 5x + 8, और (−3x²y) × (4xy³) = −12x³y⁴।
- समीकरण 5x − 3 = 3x + 7 से x = 5; x/2 − 1/5 = x/3 + 1/4 के दोनों पक्षों को 60 से गुणा करने पर x = 27/10।
- 8 के तीन क्रमागत गुणज जिनका योग 888 है: 288, 296 और 304।
- सर्वसमिकाएँ: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; (a + b)(a − b) = a² − b²; (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab।
- सर्वसमिकाओं से मौखिक गणना: 103² = 10,609; 99² = 9,801; 197 × 203 = 39,991; 51² − 49² = 200।
- गुणनखंडन: 2xy + 2y + 3x + 3 = (x + 1)(2y + 3); 49p² − 36 = (7p − 6)(7p + 6); z² − 4z − 12 = (z − 6)(z + 2)।
- मान रखकर जाँच: a = 1 और b = 2 के लिए (a + b)² = 9 पर a² + b² = 5, अतः (a + b)² और a² + b² बराबर नहीं हैं।
एक नज़र में दोहराव
चर भिन्न-भिन्न मान लेता है; पद, गुणांक, समान पद; केवल समान पद जुड़ते हैं; व्यंजक घटाने पर उसके हर पद का चिह्न बदलता है; रैखिक समीकरण: दोनों पक्षों पर एक ही संक्रिया, भिन्न हटाने के लिए हरों के LCM से गुणा, मान रखकर जाँच; सर्वसमिका सभी मानों के लिए सत्य; (a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a + b)(a − b) = a² − b², (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab; गुणनखंडन उभयनिष्ठ गुणनखंड, पुनः समूहन, सर्वसमिकाओं या गुणनफल q और योग p वाली दो संख्याओं से।