8 में से पाठ 4 · गणित, कक्षा VI-VIII (पेपर II)

अनुपात, समानुपात, प्रतिशत, लाभ-हानि, साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज

AI की सहायता से तैयार किया गया और 28 अक्टूबर 2026 को तथ्यों की जाँच की गई; किसी मानव संपादक ने इसे अभी पंक्ति-दर-पंक्ति नहीं पढ़ा है। कोई गलती दिखे तो हमें बताइए। संपादकीय मानक और सुधार

अनुपात और समानुपात

अनुपात एक ही प्रकार की दो राशियों की एक ही मात्रक में भाग द्वारा तुलना है और इसका स्वयं कोई मात्रक नहीं होता; इसे सरलतम रूप में लिखा जाता है, इसलिए 40 मिनट : 2 घंटे = 40 : 120 = 1 : 3। दो अनुपातों की तुलना उन्हें समान हर वाली भिन्नों में बदलकर की जाती है: 3 : 4 = 21/28 और 5 : 7 = 20/28, अतः 3 : 4 बड़ा है। चार संख्याएँ समानुपात में होती हैं, a : b :: c : d, जब बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर हो (a × d = b × c): 15 : 45 :: 40 : 120, क्योंकि 15 × 120 = 45 × 40 = 1,800। यदि 4, 6, 10 और x समानुपात में हैं, तो 4x = 60 और x = 15। किसी अनुपात में बाँटने के लिए भागों को जोड़ें: 36 विद्यार्थियों में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 4 : 5 हो तो 9 भाग बनते हैं और हर भाग में 4 विद्यार्थी, अतः 16 लड़के और 20 लड़कियाँ हैं।

ऐकिक विधि

पहले एक इकाई का मान निकालें, फिर अपेक्षित संख्या का। यदि 6 पेनों का मूल्य ₹90 है, तो एक का ₹15 और 10 का ₹150 होगा; यदि कोई कार 12 लीटर पेट्रोल में 150 किमी चलती है, तो एक लीटर में 12.5 किमी और 20 लीटर में 250 किमी चलेगी। प्रतिशत, लाभ-हानि और ब्याज में भी यही तर्क काम करता है।

प्रतिशत

प्रतिशत का अर्थ है प्रति सौ, इसलिए भिन्न या दशमलव को 100 से गुणा करके प्रतिशत में बदला जाता है: 3/8 = 37.5% और 0.045 = 4.5%। किसी भाग से पूर्ण राशि भाग देकर निकलती है: यदि किसी संख्या का 25%, 30 है, तो संख्या 30 × 100/25 = 120 है। वृद्धि या कमी का प्रतिशत सदा मूल मान पर निकाला जाता है: ₹40 से ₹50 होने वाला मूल्य 10/40 × 100 = 25% बढ़ता है, पर ₹50 से ₹40 होने पर 10/50 × 100 = 20% घटता है।

लाभ, हानि और बट्टा

लाभ = विक्रय मूल्य (SP) − क्रय मूल्य (CP), हानि = CP − SP, और दोनों के प्रतिशत CP पर निकाले जाते हैं। खरीदने के बाद मरम्मत या ढुलाई जैसे ऊपरी खर्च CP में जोड़े जाते हैं: ₹12,000 में खरीदा गया, ₹3,000 की मरम्मत वाला और ₹13,500 में बेचा गया स्कूटर ₹15,000 पर ₹1,500 की हानि देता है, जो 10% है। CP और लाभ प्रतिशत ज्ञात हो तो SP = CP × (100 + लाभ%)/100, इसलिए ₹600 की वस्तु 15% लाभ पर ₹690 में बिकती है; SP और हानि प्रतिशत ज्ञात हो तो CP = SP × 100/(100 − हानि%), इसलिए 5% हानि पर ₹1,140 में बिकी वस्तु का CP ₹1,200 था। बट्टा अंकित मूल्य (MP) पर दी जाने वाली छूट है और उसका प्रतिशत MP पर निकाला जाता है: ₹2,000 के MP पर 12% बट्टा देने से SP ₹1,760 होता है।

साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज

साधारण ब्याज केवल मूलधन पर लगता है, SI = P × R × T/100: ₹5,000 पर 8% वार्षिक दर से 3 वर्ष का ब्याज ₹1,200 है, अतः मिश्रधन ₹6,200 है। चक्रवृद्धि ब्याज में हर अवधि का ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है, इसलिए मिश्रधन A = P(1 + R/100)ⁿ और CI = A − P। ₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से, ब्याज वार्षिक रूप से संयोजित होने पर, 2 वर्ष का मिश्रधन 10,000 × 1.1 × 1.1 = ₹12,100 है, अर्थात् CI ₹2,100, जबकि SI ₹2,000; अतिरिक्त ₹100 पहले वर्ष के ब्याज पर लगा ब्याज है, और 2 वर्षों के लिए CI − SI = P(R/100)²। अर्धवार्षिक संयोजन में दर आधी और अवधियों की संख्या दुगुनी हो जाती है: ₹8,000 पर 10% वार्षिक दर से 1 वर्ष में 8,000 × 1.05² = ₹8,820, अर्थात् CI ₹820। यही सूत्र वृद्धि और अवमूल्यन पर भी लागू होता है: 5% वार्षिक दर से बढ़ने वाली 20,000 की जनसंख्या 2 वर्ष में 22,050 हो जाती है, और हर वर्ष अपने मूल्य का 10% खोने वाली ₹50,000 की मशीन का मूल्य 2 वर्ष बाद 50,000 × 0.9² = ₹40,500 रह जाता है।

प्रत्यक्ष और प्रतिलोम समानुपात

दो राशियाँ प्रत्यक्ष (सीधे) समानुपात में होती हैं जब वे एक ही अनुपात में साथ-साथ बढ़ती या घटती हैं, अर्थात् x/y अचर रहता है: यदि 6 मी कपड़े का मूल्य ₹210 है, तो 10 मी का ₹350 होगा। वे प्रतिलोम समानुपात में होती हैं जब एक के बढ़ने पर दूसरी उसी अनुपात में घटती है, अर्थात् x × y अचर रहता है: यदि 15 मज़दूर एक दीवार 48 घंटे में बनाते हैं, तो 30 मज़दूर 24 घंटे लेंगे, और 45 मिनट के 8 कालांशों वाले स्कूल के दिन को 9 कालांशों में बाँटने पर हर कालांश 40 मिनट का होगा, क्योंकि 8 × 45 = 9 × 40 = 360। निश्चित दूरी के लिए चाल और समय प्रतिलोम समानुपाती हैं (60 किमी/घंटा से 2 घंटे या 80 किमी/घंटा से 1.5 घंटे)। साथ-साथ बढ़ने वाली हर जोड़ी समानुपाती नहीं होती: बच्चे की लंबाई आयु के साथ बढ़ती है, पर किसी निश्चित अनुपात में नहीं।

कक्षा में

बच्चे प्रायः अनुपात के दोनों पदों को किसी संख्या से गुणा करने के स्थान पर उनमें एक ही संख्या जोड़ देते हैं, प्रतिशत परिवर्तन नए मान पर निकालते हैं, या लाभ प्रतिशत SP पर निकालते हैं। अनुपात सारणियाँ, दोहरी संख्या रेखाएँ और मूल्य-पर्ची व बिल के साथ दुकान का अभिनय गुणनात्मक संबंध को दृश्य बनाते हैं, और पहले अनुमान लगाना (₹798 पर 25% छूट लगभग ₹200 की छूट है) बच्चों को यह परखने में मदद करता है कि उत्तर तर्कसंगत है या नहीं।

मुख्य तथ्य

अनुपात के लिए एक ही मात्रक चाहिए: 40 मिनट : 2 घंटे = 40 : 120 = 1 : 3।
समानुपात की जाँच: 15 : 45 :: 40 : 120, क्योंकि 15 × 120 = 45 × 40 = 1,800; 4, 6 और 10 का चतुर्थानुपाती 15 है।
प्रतिशत परिवर्तन मूल मान पर निकलता है: ₹40 से ₹50 होना 25% वृद्धि है, पर ₹50 से ₹40 होना 20% कमी।
SP = CP × (100 + लाभ%)/100, इसलिए CP ₹600 पर 15% लाभ से SP ₹690; CP = SP × 100/(100 − हानि%), इसलिए SP ₹1,140 पर 5% हानि से CP ₹1,200।
ऊपरी खर्च क्रय मूल्य में जुड़ते हैं: ₹12,000 + ₹3,000 मरम्मत = ₹15,000; ₹13,500 में बेचने पर हानि ₹1,500, अर्थात् 10%।
बट्टा अंकित मूल्य पर निकलता है: MP ₹2,000 पर 12% बट्टे से SP ₹1,760।
SI = PRT/100: ₹5,000 पर 8% वार्षिक दर से 3 वर्ष में SI ₹1,200 और मिश्रधन ₹6,200।
चक्रवृद्धि ब्याज: ₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष में A = ₹12,100 और CI = ₹2,100; 2 वर्ष के लिए CI − SI = P(R/100)² = ₹100।
अर्धवार्षिक संयोजन: ₹8,000 पर 10% वार्षिक दर से 1 वर्ष = 2 अर्धवर्षों के लिए 5%, मिश्रधन ₹8,820।
प्रतिलोम समानुपात: 15 मज़दूर 48 घंटे लें तो 30 मज़दूर 24 घंटे लेंगे; 45 मिनट के 8 कालांश = 40 मिनट के 9 कालांश।

एक नज़र में दोहराव

अनुपात: एक ही प्रकार, एक ही मात्रक, स्वयं कोई मात्रक नहीं; a : b :: c : d जब ad = bc; ऐकिक विधि में पहले एक इकाई का मान; प्रतिशत परिवर्तन मूल मान पर; लाभ-हानि प्रतिशत CP पर, बट्टा प्रतिशत MP पर, ऊपरी खर्च CP में जुड़ते हैं; SI = PRT/100; A = P(1 + R/100)ⁿ, CI = A − P; अर्धवार्षिक: दर आधी, अवधियाँ दुगुनी; 2 वर्ष का CI − SI = P(R/100)²; प्रत्यक्ष समानुपात: x/y अचर; प्रतिलोम: xy अचर।

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