8 में से पाठ 6 · गणित, कक्षा VI-VIII (पेपर II)

ज्यामिति: चतुर्भुज, वृत्त, सममिति, रचनाएँ और ठोस आकार

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बहुभुज

बहुभुज केवल रेखाखंडों से बना एक सरल बंद वक्र है; जब उसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हों तो वह सम बहुभुज कहलाता है। n भुजाओं वाले बहुभुज के कोणों का योग (n − 2) × 180° होता है, क्योंकि एक शीर्ष से खींचे गए विकर्ण उसे n − 2 त्रिभुजों में बाँट देते हैं: चतुर्भुज के लिए 360°, पंचभुज के लिए 540° और षड्भुज के लिए 720°। उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का, हर शीर्ष पर एक, योग 360° होता है, इसलिए n भुजाओं वाले सम बहुभुज का हर बाह्य कोण 360°/n है। 45° बाह्य कोण वाले सम बहुभुज की 360 ÷ 45 = 8 भुजाएँ होती हैं, और 108° अंतः कोण वाले सम बहुभुज का बाह्य कोण 72° और इसलिए 5 भुजाएँ होती हैं।

चतुर्भुज

समलंब में भुजाओं का एक युग्म समांतर होता है; पतंग में बराबर आसन्न भुजाओं के दो युग्म होते हैं और उसके विकर्ण परस्पर लंब होते हैं; समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर होते हैं। समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर, सम्मुख कोण बराबर और आसन्न कोण संपूरक होते हैं तथा विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए एक कोण 70° हो तो कोण 70°, 110°, 70° और 110° होंगे, और 3 : 2 के अनुपात वाले आसन्न कोण 108° और 72° हैं। समचतुर्भुज वह समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों, और उसके विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं; आयत वह समांतर चतुर्भुज है जिसका हर कोण 90° हो और विकर्ण बराबर हों; वर्ग दोनों है। हर वर्ग एक आयत और एक समचतुर्भुज है, और हर आयत व हर समचतुर्भुज समांतर चतुर्भुज है, पर जिस समचतुर्भुज के कोण 90° नहीं हैं वह आयत नहीं है।

वृत्त

वृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु, केंद्र, से एक निश्चित दूरी, त्रिज्या, पर हों। जीवा वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाती है; व्यास केंद्र से होकर जाने वाली जीवा है, जो सबसे लंबी जीवा है, 2 × त्रिज्या के बराबर है और वृत्त को दो अर्धवृत्तों में बाँटती है। चाप वृत्त का एक भाग है, त्रिज्यखंड चाप और दो त्रिज्याओं के बीच का क्षेत्र है, और वृत्तखंड चाप और जीवा के बीच का क्षेत्र है। परिधि और व्यास का अनुपात हर वृत्त के लिए समान होता है और π कहलाता है, जो लगभग 22/7 या 3.14 है।

सममिति

किसी आकृति में रैखिक सममिति होती है यदि किसी रेखा, अर्थात् दर्पण रेखा, के अनुदिश मोड़ने पर उसके दोनों भाग एक-दूसरे को पूरी तरह ढक लें। समद्विबाहु त्रिभुज में 1 सममित रेखा होती है, समबाहु त्रिभुज में 3, आयत में 2, समचतुर्भुज में 2, वर्ग में 4, n भुजाओं वाले सम बहुभुज में n, विषमबाहु त्रिभुज में एक भी नहीं और वृत्त में अनंत। किसी आकृति में घूर्णन सममिति होती है यदि एक पूरे चक्कर में वह एक से अधिक बार बिल्कुल पहले जैसी दिखे; यह संख्या घूर्णन सममिति का क्रम है, और 360° को क्रम से भाग देने पर घूर्णन कोण मिलता है। वर्ग का क्रम 4 (90°), समबाहु त्रिभुज का 3 (120°), आयत का 2 (180°) और सम षड्भुज का 6 (60°) है। कुछ आकृतियों में दोनों प्रकार की सममिति होती है (वर्ग, अक्षर H), कुछ में केवल रैखिक (अक्षर A) और कुछ में केवल घूर्णन सममिति (अक्षर S, N और Z, या ऐसा समांतर चतुर्भुज जो न आयत है न समचतुर्भुज)।

रचनाएँ

पटरी और परकार से किसी रेखाखंड की प्रतिलिपि बनाई जा सकती है, रेखाखंड का लंब समद्विभाजक खींचा जा सकता है, किसी बिंदु से रेखा पर लंब खींचा जा सकता है, कोण को समद्विभाजित किया जा सकता है, और 60° (समबाहु त्रिभुज से), 120° (60° के दो चरण), 90°, 30° (60° का आधा), 45° (90° का आधा), 15° और 75° के कोण बनाए जा सकते हैं। त्रिभुज की रचना SSS, SAS, ASA या RHS आँकड़ों से की जा सकती है, जो सर्वांगसमता की कसौटियाँ ही हैं, क्योंकि हर ऐसा समूह ठीक एक त्रिभुज तय करता है; जब भुजाएँ त्रिभुज असमिका का पालन न करें या दिए गए दो कोणों का योग 180° या उससे अधिक हो, तब रचना संभव नहीं है।

ठोस आकारों का चित्रण

बहुफलक वह ठोस है जिसके फलक समतल बहुभुज, किनारे सीधे और कोने शीर्ष होते हैं; बेलन, शंकु और गोले के पृष्ठ वक्र होते हैं, इसलिए वे बहुफलक नहीं हैं। हर उत्तल बहुफलक ऑयलर के सूत्र F + V − E = 2 का पालन करता है: घन या घनाभ में 6 फलक, 8 शीर्ष और 12 किनारे होते हैं; त्रिभुजाकार प्रिज़्म में 5, 6 और 9; वर्ग आधार वाले पिरामिड में 5, 5 और 8; चतुष्फलक में 4, 4 और 6; पंचभुजाकार प्रिज़्म में 7, 10 और 15। अतः 12 शीर्षों और 30 किनारों वाले बहुफलक के 20 फलक होंगे, और 10 फलकों, 20 किनारों और 15 शीर्षों वाला कोई बहुफलक नहीं हो सकता, क्योंकि 10 + 15 − 20 = 5। जाल (नेट) वह समतल आकृति है जिसे मोड़कर ठोस बनता है (घन के 11 भिन्न जाल होते हैं), और पासे के सम्मुख फलकों का योग 7 होता है।

कक्षा में

जो बच्चे वर्ग को केवल उसकी सामान्य स्थिति में पहचानते हैं, वे तिरछे रखे वर्ग को वर्ग मानने से मना कर सकते हैं, या सोच सकते हैं कि समचतुर्भुज कभी वर्ग नहीं हो सकता। आकृतियों को अनेक स्थितियों में दिखाना, चतुर्भुजों को उनके गुणों के आधार पर छाँटना, कटी आकृतियों को मोड़कर सममित रेखाएँ खोजना, और तीलियों व मिट्टी से ठोस बनाकर F, V और E गिनना बच्चों को वान हीले के दृश्यीकरण स्तर से, जहाँ आकृतियाँ अपने रूप से पहचानी जाती हैं, विश्लेषण स्तर तक ले जाता है, जहाँ वे अपने गुणों से पहचानी जाती हैं।

मुख्य तथ्य

n भुजाओं वाले बहुभुज के कोणों का योग = (n − 2) × 180°: पंचभुज 540°, षड्भुज 720°; उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग 360° होता है।
सम बहुभुज: बाह्य कोण 45° अर्थात् 8 भुजाएँ; अंतः कोण 108° अर्थात् बाह्य कोण 72° और 5 भुजाएँ; सम षड्भुज का हर अंतः कोण 120° होता है।
समांतर चतुर्भुज: एक कोण 70° हो तो कोण 70°, 110°, 70°, 110°; 3 : 2 के अनुपात वाले आसन्न कोण 108° और 72° हैं।
विकर्ण हर समांतर चतुर्भुज में एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, आयत में बराबर होते हैं, समचतुर्भुज और पतंग में परस्पर लंब होते हैं, और वर्ग में बराबर तथा परस्पर लंब होते हैं।
वृत्त: व्यास = 2 × त्रिज्या और यह सबसे लंबी जीवा है; त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है, वृत्तखंड एक जीवा और एक चाप से।
सममित रेखाएँ: समद्विबाहु त्रिभुज 1, समबाहु त्रिभुज 3, आयत 2, वर्ग 4, सम षड्भुज 6, वृत्त अनंत।
घूर्णन सममिति: वर्ग का क्रम 4 (90°), समबाहु त्रिभुज का क्रम 3 (120°), सम षड्भुज का क्रम 6 (60°); S और Z का क्रम 2 है, पर इनमें कोई सममित रेखा नहीं होती।
पटरी और परकार से बनने वाले कोण: 60°, 120°, 90°, 30°, 45°, 15°, 75°; त्रिभुज की रचना SSS, SAS, ASA या RHS आँकड़ों से होती है।
ऑयलर का सूत्र F + V − E = 2: घन 6 + 8 − 12 = 2; त्रिभुजाकार प्रिज़्म 5 + 6 − 9 = 2; वर्ग आधार वाला पिरामिड 5 + 5 − 8 = 2।
घन के 11 भिन्न जाल होते हैं, और पासे के सम्मुख फलकों का योग 7 होता है।

एक नज़र में दोहराव

बहुभुज के कोणों का योग (n − 2) × 180°, बाह्य कोणों का योग 360°, सम बहुभुज का बाह्य कोण 360°/n; समांतर चतुर्भुज: सम्मुख भुजाएँ और कोण बराबर, आसन्न कोणों का योग 180°, विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं; समचतुर्भुज के विकर्ण लंब, आयत के बराबर, वर्ग के दोनों; व्यास = 2r, सबसे लंबी जीवा; सममित रेखाएँ: वर्ग 4, समबाहु त्रिभुज 3, आयत 2, वृत्त अनंत; घूर्णन कोण = 360°/क्रम; पटरी-परकार से 60°, 120°, 90°, 30°, 45°; ऑयलर F + V − E = 2।

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