8 में से पाठ 6 · गणित शिक्षाशास्त्र

अंकगणित, भिन्न, दशमलव और ज्यामिति में त्रुटियाँ और भ्रांतियाँ

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असावधानी, त्रुटि और भ्रांति

हर गलत उत्तर एक जैसा नहीं होता। असावधानीवश भूल (slip) लापरवाही से हुई आकस्मिक गलती है, जैसे कोई अंक गलत उतार लेना, जिसे बच्चा जाँचने को कहने पर तुरंत सुधार लेता है। व्यवस्थित त्रुटि कई प्रश्नों में एक ही ढंग से दोहराई जाती है, क्योंकि बच्चा एक सुसंगत पर गलत नियम का पालन कर रहा होता है; ब्राउन और बर्टन (1978) ने ऐसे नियमों को 'बग्गी एल्गोरिद्म' (दोषपूर्ण कलन-विधि) कहा। भ्रांति वह अंतर्निहित धारणा है जिससे व्यवस्थित त्रुटियाँ पैदा होती हैं, अक्सर पूर्ण संख्याओं पर काम करने वाला कोई नियम जिसे बहुत आगे तक खींच दिया गया हो। असावधानी के लिए जाँचने की आदत चाहिए; व्यवस्थित त्रुटियों और भ्रांतियों के लिए अवधारणा पर केंद्रित शिक्षण चाहिए।

पूर्ण संख्याओं के अंकगणित में त्रुटियाँ

जोड़ में 47 + 38 = 715 दिखाता है कि बच्चा हर स्तंभ का पूरा योग लिख रहा है और 15 को 1 दहाई और 5 इकाई में पुनर्समूहित नहीं कर रहा, जबकि 47 + 38 = 75 दिखाता है कि हासिल की दहाई भूल गई (सही उत्तर 85 है)। घटाव में, हर स्तंभ में बड़े अंक से छोटा अंक घटाने के अलावा, बच्चे शून्य के पार उधार लेते समय गलती करते हैं: 503 − 168 = 435 (सही उत्तर 335) दिखाता है कि दहाई के स्थान का 0 तो 9 बन गया, पर 5 सैकड़े घटकर 4 नहीं हुए। गुणा में 23 × 14 = 115 दिखाता है कि दूसरा आंशिक गुणनफल (23 × 10 = 230) अपने स्थानीय मान के बिना 23 लिखा गया; सही उत्तर 322 है। भाग में 618 ÷ 6 = 13 (सही उत्तर 103) दिखाता है कि भागफल का 0 छूट गया, क्योंकि 1 में 6 का भाग नहीं जाता। इनमें से हर त्रुटि कमज़ोर स्थानीय मान की ओर इशारा करती है, कमज़ोर पहाड़ों की ओर नहीं।

भिन्नों में त्रुटियाँ

भिन्नों की कई त्रुटियाँ अंश और हर को दो अलग-अलग पूर्ण संख्याएँ मानने से आती हैं। 1/2 + 1/3 = 2/5 में ऊपर-ऊपर और नीचे-नीचे जोड़ दिया गया है; एक त्वरित जाँच बताती है कि यह सही नहीं हो सकता, क्योंकि 2/5 जोड़ी जा रही संख्याओं में से एक, 1/2, से भी छोटा है। 5 > 3 होने के कारण 1/5 > 1/3 कहना इस बात को अनदेखा करता है कि अधिक बराबर भागों का अर्थ छोटे भाग हैं। 4 असमान टुकड़ों में से किसी एक को एक-चौथाई कहना दिखाता है कि बराबर भागों की आवश्यकता समझी नहीं गई। यह न देख पाना कि 2/4 और 1/2 एक ही मात्रा हैं, दिखाता है कि भिन्नों को अभी संख्या रेखा पर स्थान रखने वाली संख्याओं के रूप में नहीं देखा जा रहा। भिन्न-पट्टियाँ, कागज़ मोड़ना, रोटियाँ बराबर बाँटना और संख्या रेखा पर भिन्न अंकित करना सहायक हैं।

दशमलव और मापन में त्रुटियाँ

'लंबा यानी बड़ा' भ्रांति (0.25 > 0.7, 0.125 > 0.5) पूर्ण संख्याओं की सोच को दशमलव में ले आती है; इसकी उलटी 'छोटा यानी बड़ा' भ्रांति (0.3 > 0.35, क्योंकि दसवाँ भाग सौवें भाग से बड़ा होता है) भी पाई जाती है। 0.3 × 0.2 = 0.6 (सही उत्तर 0.06) दिखाता है कि दशमलव स्थान समझे नहीं गए, और जोड़ते समय दशमलव बिंदुओं के बजाय अंतिम अंकों को एक सीध में रखना दिखाता है कि बिंदु को स्थानीय मान का सूचक नहीं, केवल विभाजक माना जा रहा है। मापन में बच्चे अक्सर पैमाने पर 0 के बजाय 1 से नापना शुरू करते हैं या निशानों के बीच की दूरियों के बजाय निशान गिनते हैं, और बहुत से बच्चे मानते हैं कि समान परिमाप वाली दो आकृतियों का क्षेत्रफल भी समान होगा।

ज्यामिति और बीजगणित में त्रुटियाँ

वैन हीले के दृश्य स्तर के बच्चे सोचते हैं कि कोने पर घुमाया गया वर्ग 'डायमंड' है, वर्ग नहीं; कि त्रिभुज को क्षैतिज आधार पर खड़ा होना चाहिए; और कि वर्ग आयत नहीं हो सकता। बहुत से बच्चे सोचते हैं कि भुजाएँ लंबी खींचने से कोण बड़ा हो जाता है, क्योंकि वे घुमाव की मात्रा के बजाय लंबाई देखते हैं। आरंभिक बीजगणित में, 3a को तीन सेब पढ़ने के अलावा, बच्चे 2a + 3b = 5ab लिखते हैं, सोचते हैं कि अक्षर किसी एक निश्चित संख्या के लिए ही हो सकता है, या मान लेते हैं कि अलग-अलग अक्षरों का मान समान नहीं हो सकता।

त्रुटि विश्लेषण

त्रुटि विश्लेषण बच्चे की गलतियों के पीछे का नियम खोजने के लिए शिक्षक द्वारा उनका व्यवस्थित अध्ययन है। शिक्षक बच्चे के कई कार्य एकत्र करता है, प्रश्नों में कोई पैटर्न खोजता है, एक परिकल्पना बनाता है ('यह पुनर्समूहन नहीं करता'), कुछ सोच-समझकर बनाए गए प्रश्नों से उसकी जाँच करता है, और बच्चे से सोचते हुए बोलने को कहकर ('बताओ, तुमने यह कैसे किया') उसकी पुष्टि करता है; यह पियाजे की नैदानिक साक्षात्कार विधि है। फिर शिक्षण भ्रांति को लक्ष्य बनाता है, अक्सर संज्ञानात्मक द्वंद्व के माध्यम से: बच्चे के सामने ऐसा परिणाम आता है जो उसके नियम के विपरीत है, जैसे यह देखना कि 2/5, 1/2 से छोटा है, और वह अपने विचार को पुनर्गठित करता है (पियाजे का असंतुलन और समायोजन)। केवल उत्तर को गलत चिह्नित करना, उसी ढंग से दोबारा पढ़ाना या उसी प्रकार का और अभ्यास देना अंतर्निहित विचार को नहीं बदलता।

त्रुटियाँ क्या बताती हैं

त्रुटियाँ दिखाती हैं कि बच्चे सक्रिय रूप से अर्थ बना रहे हैं और अपने बनाए नियम लागू कर रहे हैं, अक्सर पूर्ण संख्याओं से अति-सामान्यीकरण करके। इसलिए वे सूचना हैं और सीखने का सामान्य हिस्सा हैं, दंड योग्य आलस्य का संकेत नहीं। CTET में वह विकल्प जो कहता है कि त्रुटि दिखाती है कि बच्चे ने अभी क्या नहीं समझा, या कि शिक्षक को पता लगाना चाहिए कि बच्चा कैसे सोच रहा है, सामान्यतः सही होता है; जो विकल्प कहता है कि बच्चा लापरवाह है या उसे उसी प्रकार का और अभ्यास चाहिए, वह सामान्यतः सही नहीं होता।

मुख्य तथ्य

असावधानी: लापरवाही से, आकस्मिक, जाँचने पर सुधर जाती है। व्यवस्थित त्रुटि: सुसंगत गलत नियम (बग्गी एल्गोरिद्म, ब्राउन और बर्टन 1978)। भ्रांति: उसके पीछे की धारणा।
47 + 38 = 715: स्तंभों का पूरा योग लिखा, पुनर्समूहन नहीं। 47 + 38 = 75: हासिल की दहाई भूल गए। सही उत्तर 85 है।
503 − 168 = 435: शून्य के पार उधार, दहाई 9 बन गई पर सैकड़े कम नहीं किए; सही उत्तर 335 है।
23 × 14 = 115: दूसरा आंशिक गुणनफल 230 के बजाय 23 लिखा (सही उत्तर 322)। 618 ÷ 6 = 13: भागफल का शून्य छूट गया (सही उत्तर 103)।
1/2 + 1/3 = 2/5 ऊपर-ऊपर और नीचे-नीचे जोड़ता है; जाँच: 2/5, 1/2 से छोटा है, इसलिए यह योग नहीं हो सकता।
भिन्न के लिए बराबर भाग चाहिए: 4 असमान टुकड़ों में से एक को एक-चौथाई कहना भ्रांति है।
दशमलव: लंबा यानी बड़ा (0.25 > 0.7), छोटा यानी बड़ा (0.3 > 0.35), और 0.3 × 0.2 = 0.06 के बजाय 0.6।
मापन की त्रुटियाँ: पैमाने पर 0 के बजाय 1 से शुरू करना, दूरियों के बजाय निशान गिनना, समान परिमाप का अर्थ समान क्षेत्रफल मानना।
ज्यामिति की त्रुटियाँ: तिरछे वर्ग को डायमंड कहना, वर्ग को आयत न मानना, लंबी भुजाओं से कोण बड़ा मानना। बीजगणित: 2a + 3b = 5ab।
त्रुटि विश्लेषण: कार्य एकत्र करो, पैटर्न खोजो, परिकल्पना बनाओ, बनाए गए प्रश्नों से जाँचो, बच्चे से बात करो, फिर संज्ञानात्मक द्वंद्व से पढ़ाओ।

एक नज़र में दोहराव

असावधानी बनाम व्यवस्थित त्रुटि बनाम भ्रांति; बग्गी एल्गोरिद्म (ब्राउन और बर्टन 1978); 47 + 38 = 715 और 503 − 168 = 435 कमज़ोर स्थानीय मान दिखाते हैं; 618 ÷ 6 = 13 में शून्य छूटा; 1/2 + 1/3 = 2/5; भिन्न के लिए बराबर भाग; दशमलव में लंबा यानी बड़ा और छोटा यानी बड़ा; पैमाना 1 से पढ़ना; तिरछा वर्ग; लंबी भुजाएँ; 2a + 3b = 5ab; त्रुटि विश्लेषण: पैटर्न, परिकल्पना, जाँच, साक्षात्कार, संज्ञानात्मक द्वंद्व; त्रुटियाँ सूचना हैं।

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